Algunos tipos de preferencias

5.- Algunos tipos de preferencias

Cada consumidor puede tener sus propias preferencias, y éstas pueden ser muy diferentes de las de otros consumidores. Hay ciertas familias Una familia de funciones son funciones que, aunque pueden ser diferentes entre sí, tienen características comunes que las diferencian de otras familias. Cada familia de funciones tiene una forma funcional característica pero incluye diferentes funciones posibles según el valor que tomen los parámetros.

Por ejemplo, podríamos decir que la familia de funciones que son rectas tienen la forma $Y(x)=a+b\cdot x$ siendo el parámetro $a$ el corte en el eje vertical y el parámetro $b$ la pendiente. En este caso tanto $a$ como $b$ son prámetros, es decir constantes no determinadas de antemano, pero que para cada valor concreto de los mismos tendremos una función diferente (una recta diferente en este ejemplo). de preferencias que utilizamos con frecuencia en ejemplos y ejercicios. No pretendemos que sean las preferencias habituales de los individuos reales, pero son manejables y sirven para construir y entender la lógica de nuestro modelo. Algunas de estas preferencias siguen plenamente las propiedades ideales Llamamos preferencias bien comportadas a las que cumplen todas las propiedades propuestas. No sólo son completas y transitivas, sino también continuas, monótonas y convexas. que nos gusta atribuir a nuestros consumidores. Otros rompen algunas de esas propiedades y nos permiten analizar las consecuencias.

Sustitutivos perfectos

Dos bienes son sustitutivos perfectos para un consumidor si la cantidad de un bien que puede sustituir a una unidad del otro, manteniendo al consumidor indiferente, es la misma independientemente de la cesta que tenga.

Por ejemplo, un consumidor dice que dos unidades del bien 2 le satisfacen lo mismo que una del bien 1. Por tanto, siempre estaría dispuesto a dar una de $x_1$ a cambio de recibir dos de $x_2$, o estaría dispuesto a dar dos de $x_2$ a cambio de recibir una de $x_1$.

Ejemplo

Más formalmente, dos bienes son sustitutivos perfectos si $\mathrm{RMS}(x_1, x_2)$ tiene el mismo valor en todos los puntos (es decir, es una función constante).

Gráficamente, como la tasa marginal de sustitución es la pendiente de las curvas de indiferencia, si la RMS es constante significa que las curvas de indiferencia son rectas Sólo las rectas tienen pendiente constante. , como puede verse en la figura.

Las funciones de utilidad de los sustitutivos perfectos tendrán la siguiente forma \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = a\cdot x_1 + b\cdot x_2 \] donde $a$ y $b$ son números positivos.

Una curva de nivel de esta función, por ejemplo la curva de indiferencia de utilidad 10, cumplirá la ecuación \[ a\cdot x_1 + b\cdot x_2 = 10 \] que corresponde a una recta con pendiente $-\frac{a}{b}$.

Ejemplo

A partir de las utilidades marginales, sabemos que \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)}\] En el caso de los sustitutivos perfectos, con $ \mathrm{U}(x_1, x_2) = a\cdot x_1 + b\cdot x_2 $, esto es \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{RMS}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = a \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{RMS}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = b \] \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{a}{b} \]

Una pregunta: supongamos que un consumidor afirma que para él una unidad del bien 1 es igual de buena que tres del bien 2. Piensa un poco y elige una de las dos respuestas siguientes.

$\mathrm{U}(x_1, x_2) =x_1 + 3x_2$ Sol.
Muchas personas, probablemente la mayoría, eligen esta respuesta, pero NO es correcta.
$\mathrm{U}(x_1, x_2) =3 x_1 + x_2$ Sol.
¡Muy bien! Cuando nos dice que daría 3 unidades del bien 2 por una del bien 1, significa que RMS=-3. Pero como puedes ver, esto significa que \[\frac{a}{b}= -3\] Por tanto, diríamos que $a=3$ y $b=1$.

Obsérvese que hay otros pares de $a$ y $b$ que también cumplen $\frac{a}{b}= -3$.* Esto es RMS=-3 que significa: una unidad del bien 1 es tan buena como tres del bien 2. Por ejemplo, las funciones $\mathrm{V}(x_1, x_2) =6 x_1 + 2x_2$ o $\mathrm{W}(x_1, x_2) = x_1 + \frac{1}{3}x_2$ también representan las preferencias de nuestro consumidor.

Supongamos que nos dan la función de utilidad \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) =9 x_1^2 + 6 x_1 x_2 + x_2^2 \] Si calculamos sus utilidades marginales tenemos, \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = 18 x_1 + 6 x_2 \]\[\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = 6 x_1 + 2 x_2 \] Sustituyendo y simplificando, la tasa marginal de sustitución será, \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)}= \] \[ =-\frac{18 x_1 + 6 x_2}{6 x_1 + 2 x_2} = -\frac{6(3x_1+x_2)}{2(3x_1+x_2)} = -3 \]

Como tenemos la misma tasa de sustitución, RMS=-3, nos encontramos de nuevo con las mismas preferencias. De hecho, es fácil ver que esta función de utilidad era el resultado de elevar al cuadrado la primera, $3x_1+x_2$.

Aunque lo normal es que la función de utilidad de los sustitutivos perfectos sea $ax_1+bx_2$, lo que caracteriza a este tipo de preferencias es la RMS constante (es decir, las curvas de indiferencia rectas).

Propiedades

¿Son las preferencias de los sustitutivos perfectos monótonas? Sol.
Sí, lo son. Se ve claramente que a medida que aumentan las cantidades de bienes, el valor de la función aumenta.

Las utilidades marginales de ambos bienes son positivas, por lo que se cumple la monotonicidad fuerte. Basta con aumentar uno solo de los dos bienes para poder afirmar que la utilidad aumenta.

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¿Son estas preferencias convexas? Sol.
Como las curvas de indiferencia son rectas, si unimos dos puntos indiferentes con un segmento, todos los puntos del segmento están en la misma recta, es decir, son indiferentes a los extremos. Esto significa que se cumple la definición de convexidad, pero no la de convexidad estricta (que requiere que los puntos del segmento sean preferidos a los extremos).

Representación gráfica

Antes de pasar al siguiente tipo de preferencia, explora la figura.

Puedes ver cómo el mapa de curvas de nivel se corresponde con la figura 3D. Con estas funciones de utilidad, la superficie de la función es un plano inclinado.
Comprueba cómo responden las cifras a las variaciones de los valores de $a$ y $b$.
¿Puedes interpretar con tus propias palabras lo que significa un aumento de $a$? Sol.
El valor de $a$ indica el peso que tiene el bien 1 en la satisfacción del consumidor. El valor de $x_1$ se multiplica por $a$, por lo que si $a$ es mayor, la utilidad proporcionada por el bien 1 es mayor.
¿Qué pasa con el efecto que tiene un aumento de $a$ en la tasa de sustitución? Sol.
Recordemos que RMS$=-\frac{a}{b}$. Un incremento de $a$ aumenta la pendiente de las curvas de indiferencia. Como una unidad del bien 1 proporciona ahora más utilidad que antes, se necesitaría más bien 2 para sustituirlo.
¿Y si $a$ y $b$ aumentan en la misma proporción?
Sol.
Si se multiplican tanto $a$ como $b$ por, digamos, dos, la nueva RMS$=-\frac{2 \cdot a}{2 \cdot b}$ es idéntica a la anterior. Las preferencias son idénticas.
Multiplicando por 2 $a$ and $b$: $\mathrm{V}(x_1, x_2) = 2\cdot a\cdot x_1 + 2 \cdot b\cdot x_2= 2 \cdot \mathrm{U}(x_1, x_2).$ Se puede despejar el número 2 y vemos que el efecto es el mismo que multiplicar la utilidad por 2, que es una transformación monótona de la función que preserva el orden entre cestas (mismas preferencias).

Preferencias Cobb-Douglas

Las preferencias Cobb-Douglas son aquellas que pueden representarse por una función de utilidad del tipo \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^a \cdot x_2^b \quad , \quad a, b>0 \]

Este es el tipo de preferencia que utilizaremos más a menudo. Se podría pensar, con razón, que no parece que los consumidores vayan a comparar realmente sus cestas utilizando una función de este tipo. Pero decir que una función representa las preferencias no significa (al menos no necesariamente) que el consumidor utilice realmente esa función. De la misma manera que, por ejemplo, hay modelos matemáticos que describen la trayectoria de la pelota aunque el jugador no utilice funciones ni resuelva ecuaciones cuando lanza una pelota. Y como veremos, las preferencias Cobb-Douglas tienen propiedades que las hacen bastante razonables.

Ejemplo

¿Qué aspecto tendrán las curvas de indiferencia? Puedes verlas en la figura, pero conviene justificar lo que vemos. Lo haremos primero para un caso concreto, y luego consideraremos el caso general.

Ejemplo

Para cualquier Cobb-Douglas, la curva de indiferencia $u_0$ será

\[ x_1^a \cdot x_2^b = u_0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{u_0^{1/b}}{x_1^{a/b}} \]

La expresión obtenida puede parecer muy complicada, con tantas letras, pero hay que tener en cuenta que en cada caso $a$, $b$ y $u_0$ son simplemente números (positivos) por lo que no es más complicado que el ejemplo. Y tendrá las mismas propiedades: si $x_1$ se aproxima a 0 , $x_2$ crece hacia el infinito, mientras que cuando $x_1$ crece el valor de $x_2$ se aproxima a 0 (sin llegar nunca).

Este tipo de curvas son las del mapa de la figura (como ya habíamos visto en el caso de John).

¿Cómo será la tasa marginal de sustitución en las preferencias Cobb-Douglas?

Como ya se ha dicho, la RMS corresponde a la pendiente de la curva de indiferencia en cada punto. Observando la figura, vemos que esta pendiente es diferente en cada punto. Más concretamente, como las curvas son convexas, la RMS es menor, en valor absoluto, a medida que bajamos por cualquier curva. Es decir, las preferencias Cobb-Douglas siempre cumplen la propiedad de la RMS decreciente.

Por medio del cálculo, obtenemos que

\[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = - \frac{a x_2}{b x_1} \]

Las utilidades marginales para una Cobb-Douglas $\mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$ son \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = a x_1^{a-1} x_2^b \quad \quad \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = b x_1^{a} x_2^{b-1} \]

Calculamos la tasa de sustitución utilizando el cociente de utilidades marginales:

\[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)} = -\frac{a x_1^{a-1} x_2^b}{b x_1^{a} x_2^{b-1}} = \] \[ = -\frac{a x_2^{1-b} x_2^b}{b x_1^{a} x_1^{1-a}} = -\frac{a x_2}{b x_1} \]

A medida que vas bajando por una curva, $x_1$ va creciendo al mismo tiempo que $x_2$ se va haciendo más pequeño. En la fórmula, esto significa que el numerador está disminuyendo al tiempo que el denominador está creciendo, por lo que el valor del cociente, que es la tasa de sustitución, está disminuyendo (como se puede ver en la figura).

Habrás notado que en la figura anterior la función de utilidad es ligeramente diferente, ya que depende de un solo parámetro, $\alpha$. \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^{(1-\alpha)} \quad , \quad \alpha\in (0,1) \]

Es una forma un tanto especial de la función de utilidad general Cobb-Douglas, pero se utiliza a menudo porque tiene algunas ventajas. Es fácil demostrar que cualquier función Cobb-Douglas, $\mathrm{U}(x_1, x_2) =x_1^a x_2^b$ puede transformarse en otra en la que los exponentes sumen 1. Esto puede hacerse elevando la función a $\frac{1}{a+b}$.

De la función $\mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$, obtén la función $\mathrm{V}(x_1, x_2) =\left[ \mathrm{U}(x_1, x_2) \right]^{\frac{1}{a+b}} $ \[ \mathrm{V}(x_1, x_2) = \left( x_1^a x_2^b \right)^{\frac{1}{a+b}} = x_1^{\frac{a}{a+b}} x_2^{\frac{b}{a+b}} \] Hemos obtenido una función cuyos exponentes suman uno. \[ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} = \frac{a+ b}{a+b} = 1\] Definiendo $\alpha = \frac{a}{a+b}$, tenemos $\frac{b}{a+b} = 1-\alpha $, con lo que podemos escribir V como \[ \mathrm{V}(x_1, x_2) = x_1^{\alpha} x_2^{(1-\alpha)} \] Calculando la relación marginal de sustitución para la función V \[ \mathrm{MV}_1(x_1, x_2) = \alpha x_1^{\alpha - 1} x_2^{1-\alpha} \] \[ \mathrm{MV}_2(x_1, x_2) = (1- \alpha) x_1^{\alpha } x_2^{(1-\alpha -1)} = (1-\alpha) x_1^{\alpha } x_2^{-\alpha}\] \[ \mathrm{RMS}_V(x_1, x_2) = -\frac{\alpha x_1^{\alpha - 1} x_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha) x_1^{\alpha } x_2^{-\alpha}} = \] \[ = -\frac{\alpha x_2^{(1-\alpha)} x_2^\alpha}{(1-\alpha) x_1^\alpha x_1^{(1-\alpha)}} = -\frac{\alpha x_2}{(1-\alpha) x_1} \]

Es fácil ver que el RMS es la mismo tanto con la función U como con la función V.

\[ \mathrm{RMS}_V(x_1, x_2) = -\frac{\alpha x_2}{(1-\alpha) x_1} = \] \[ = -\frac{\frac{a}{a+b} x_2}{\frac{b}{a+b} x_1} = -\frac{a x_2}{b x_1} = \mathrm{RMS}_U(x_1, x_2) \]

Ejemplo

Otra forma funcional que se utiliza a veces* Especialmente en econometría. para representar preferencias Cobb-Douglas es aplicando logaritmos. \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = a \ln x_1 + b \ln x_2 \]

Para comprobar que son preferencias Cobb-Douglas comprobaremos la RMS.

\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = a \frac{1}{x_1} \quad \quad \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = b \frac{1}{x_2} \] \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{a \frac{1}{x_1}}{b \frac{1}{x_2}} = -\frac{a x_2}{b x_1} \]

Hemos obtenido la misma función que en $\mathrm{U}(x_1, x_2) =x_1^a x_2^b$ por lo que tenemos las mismas preferencias.

De hecho, aplicando las propiedades de los logaritmos, es fácil comprobar que una es una transformación de la otra. En concreto,

\[ \ln(x_1^a x_2^b) = \ln x_1^a + \ln x_2^b = a \ln x_1 + b \ln x_2 \]

Ahora es un buen momento para interactuar con la figura. Se permite mover el punto A, variar el valor de $\alpha$, rotar la figura 3D, etc. Puedes observar cómo cambia la forma de las curvas, pero también te permite observar que las propiedades básicas se mantienen.

¿Puede una curva de indiferencia tocar alguna vez el eje vertical o el horizontal? Sol.
Eso es imposible. Quizás en la figura pueda parecer que una curva está muy cerca del eje para ciertos valores de $\alpha$, pero nunca lo tocará. En el eje vertical $x_1=0$ (y en el eje horizontal $x_2=0$). Con una función Cobb-Douglas estos puntos tienen utilidad 0. No pueden pertenecer a una curva de indiferencia. En cualquier caso, podría decirse que los ejes forman la curva de utilidad cero.
¿Son preferencias monótonas? Sol.
Dada la forma funcional, sí lo son. Al aumentar $x_1$ y/o $x_2$ el valor de la función aumenta.

Las utilidades marginales $ \mathrm{UMg}_1(\cdot)=a x_1^{(a-1)} x_2^b $ $ \mathrm{UMg}_2(\cdot)=b x_1^a x_2^{(b-1)} $ son siempre positivas, por lo que tenemos monotonicidad fuerte. Basta con aumentar uno de los dos bienes para aumentar la utilidad.

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¿Y convexidad? Sol.
Sí, lo son. Dada la forma de las curvas de indiferencia, si unimos dos puntos indiferentes con un segmento, todos los puntos del segmento están por encima de la curva, luego son preferidos. De hecho, tenemos convexidad estricta.

Como se ha señalado anteriormente, la monotonía y la convexidad estricta son propiedades bastante razonables en la mayoría de los casos. Ambas propiedades, junto con la característica de que las curvas de indiferencia no tocan los ejes, hacen que las preferencias Cobb-Douglas aseguren un funcionamiento suave del modelo que vamos a construir. No es el único tipo de función que tiene este funcionamiento suave, pero es el más sencillo.

Tendremos la oportunidad de ver cómo las preferencias que no las cumplen nos darán algunos dolores de cabeza (aunque también nos ayudarán a entender mejor algunas cosas).

Complementarios perfectos

Puede ocurrir que un consumidor sólo obtenga satisfacción de algunos bienes cuando los consume en conjunto y en una determinada proporción, de manera que lo que excede de esa proporción no le reporta ninguna utilidad.

Ejemplo

Lo que sepamos sobre las preferencias de Mary nos será útil, pero antes de hacer una afirmación general trabajaremos con otro ejemplo.

Ejemplo

Después de trabajar con el ejemplo no debería ser difícil generalizar.

Supongamos un consumidor que obtiene utilidad al combinar $x_1$ y $x_2$. Quiere cuanto más mejor, pero siempre que pueda combinar $a$ unidades del bien 2 con $b$ unidades del bien 1.

Digamos que para formar un pack necesita $a$ unidades de $x_2$ y $b$ unidades de $x_1$, y quiere cuantos más packs mejor. ¿Cuántos packs podrías formar con una combinación $(25, 25)$? Diríamos que tienes bien 1 para $\frac{25}{b}$ packs, y bien 2 para $\frac{25}{a}$ packs. Los packs que realmente puedes formar serán el menor de esos dos números, \[ \mathrm{Min}\left\{ \frac{25}{b}, \frac{25}{a} \right\} \]

Si ambos números fueran iguales, $\frac{25}{b}= \frac{25}{a}$, no sobraría nada.

Si $\frac{25}{b} > \frac{25}{a}$ hay un exceso de bien 1, si hay un exceso de bien 2 la desigualdad sería al revés.

La función que calcula el número de packs serviría como función de utilidad, ya que asigna un número mayor cuanto mejor es la cesta (mayor número cuanto más packs permite formar). \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = \mathrm{Min}\left\{ \frac{x_1}{b}, \frac{x_2}{a} \right\} \]

Puedes ver las curvas de indiferencia en la figura. Aunque, si te fijas, la función de utilidad que aparece en la figura es \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = \mathrm{Min}\left\{ a x_1, b x_2 \right\} \]

Es más común encontrar esta forma de función, que en realidad es equivalente a la anterior.* Esta última forma parece más sencilla, aunque su lectura es menos intuitiva que la primera, que nos permite pensar en términos de packs.

Lo importante es que con ambas funciones las curvas son las mismas (aunque, por supuesto, tienen etiquetas diferentes).

Las esquinas son los puntos donde no sobra nada. Con la primera función esto ocurre cuando \[ \frac{x_1}{b}= \frac{x_2}{a} \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{a}{b} x_1\]

Con la segunda, tendríamos \[ a \cdot x_1= b \cdot x_2 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{a}{b} x_1\]

El resultado es el mismo con ambas funciones. El número de unidades del bien 2 que le gusta es igual a $\frac{a}{b}$ por la cantidad del bien 1. En la figura se puede ver la línea discontinua que pasa por todos los vértices, y que responde precisamente a esa expresión.

Ten en cuenta que con estas preferencias no tiene sentido hablar de una tasa de sustitución. No es posible sustituir un bien por otro, ya que se utilizan en proporciones fijas. Si quitamos una unidad de un bien en exceso, no es necesario sustituirlo. Si quitamos una unidad del que no es suficiente, es imposible sustituirlo por el otro bien.

Propiedades

¿Son estas preferencias monótonas? Sol.
Sí. Es preferible una cesta con más de los dos bienes, ya que le permite aumentar el número de paquetes. En la figura, eso sería subir y desplazarse hacia la derecha, por lo que pasa con seguridad a una curva más alta. Sin embargo, a diferencia de los casos anteriores, dar más de uno solo de los bienes no garantiza la mejora, ya que podríamos darle un bien que no puede aprovechar por no tener suficiente del otro bien.

En este caso diríamos que son preferencias monótonas, pero no fuertemente monótonas.

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¿Son estas preferencias convexas? Sol.
Con estas curvas, al unir dos puntos indiferentes los puntos del segmento que los une nunca serán peores, por lo que son preferencias convexas, pero pueden ser indiferentes, por lo que la convexidad no es estricta.

La función Min$\{ \}$ (valor mínimo de los elementos de un conjunto de números) es una función un tanto especial, por lo que aquellos casos en los que aparezca este tipo de preferencia requerirán un tratamiento diferente (ya que, por ejemplo, hemos visto que no tiene sentido hablar de RMS).

Resumiendo:

Como se dijo al principio, puede haber tantas preferencias diferentes como consumidores. Las tres familias que hemos visto son las más utilizadas en los modelos y ejercicios, pero no son las únicas. En más de una ocasión pueden aparecer preferencias que no pertenecen a ninguno de estos tipos. En algunos casos, porque se necesita una característica específica que estas preferencias no pueden reflejar. En otros, simplemente para hacernos pensar. A veces, jugar con casos raros ayuda a entender mejor las cosas.

Sustitutivos perfectos Cobb-Douglas Complementarios perfectos

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