Hemos llamado preferencias del consumidor a lo que éste piensa sobre las diferentes posibles combinaciones de bienes. Y le pedíamos simplemente que fuera comparando entre pares de cestas. Pero puede haber muchas posibles cestas (de hecho, posiblemente infinitas), por lo que conocer las preferencias de un consumidor podría ser un largo proceso.

Responder preguntas binarias sobre la preferencia entre dos cestas es sencillo, pero lo que nos gustaría es tener una regla general que permitiera prever las respuestas del consumidor ante posibles nuevas comparaciones.

Quizá algunos consumidores podrían explicar qué método usan para comparar cestas (como pasaba con Peter, John y Mary), pero otros no.

La teoría matemática de las relaciones binarias ofrece herramientas apropiadas para recoger y manejar las relaciones de preferencia. Pero no es un campo muy amable para el no especialista. Por eso, una vez definidas las relaciones de preferencias y sus propiedades básicas buscamos la manera de poder trabajar con las herramientas más habituales para nosotros del álgebra y algo de cálculo.

Lo que haremos es representar las preferencias mediante funciones.

Una función $\mathrm{U}$ representa las preferencias del consumidor, y se denomina la función de utilidad, si asocia un número con cada cesta de la siguiente manera: si una cesta es mejor que otra, el número que asocia a la primera cesta es mayor. Si las dos cestas son indiferentes el número asociado es el mismo. \[ (x_1, x_2) \succ (y_1, y_2) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{U}(x_1, x_2) > \mathrm{U} (y_1, y_2) \] \[ (x_1, x_2) \sim (y_1, y_2) \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{U}(x_1, x_2) = \mathrm{U} (y_1, y_2) \]

¿Por qué utilizamos funciones de utilidad?

Si utilizamos funciones de utilidad, podemos saber lo que el consumidor piensa sobre un par de cestas, simplemente evaluando la función en esos puntos y comparando. Dibujar el mapa de indiferencia resulta también más sencillo porque, como veremos, las curvas de indiferencia son curvas de nivel de la función de utilidad.

En la siguiente figura representamos una función de utilidad. En la parte derecha vemos lo que sería la representación en tres dimensiones, en la que la función es una superficie. Cada punto en el suelo (plano $x_1\times x_2$) es una combinación de bienes, y la altura mide el valor de la función (utilidad) en ese punto. Las curvas de nivel son las líneas formadas en la superficie de la función por los puntos que están a la misma altura, y que son proyectadas en el suelo. La figura de la izquierda es el mapa formado por esas proyecciones, que son las curvas de indiferencia de la función. Cada curva corresponde a un nivel de utilidad (cada curva tiene una etiqueta con su utilidad). Puedes hacer girar la figura 3D, así como mover el punto A en la figura de la izquierda. Observa cómo se refleja el cambio de A en la figura de la derecha. Incluso puedes comprobar cómo la etiqueta de la curva que pasa por A se corresponde con la altura de A en la figura de la derecha.

Como las curvas de indiferencia son curvas de nivel de una función, aparece de nuevo la idea de que las curvas no pueden cortarse.

Es importante darse cuenta de que la satisfacción de un consumidor no es una magnitud física que pueda medirse. La función de utilidad es ordinal por naturaleza; el número asignado a una cesta no tiene sentido por sí solo. Lo único que importa es si es mayor, menor o igual al número asignado a otras. Como no es una unidad de medida, no tiene sentido decir que una cesta proporciona, por ejemplo, doble utilidad que otra (piensa sobre la temperatura: ¿tiene sentido decir que $30^o$ es el doble de calor que $15^o$?).

Otra consecuencia de no tener una unidad de medida es que no se puede comparar la utilidad interpersonalmente. Dos consumidores podrían estar de acuerdo en todas las comparaciones entre cestas, lo que significa que tienen las mismas preferencias y la misma función de utilidad, pero no quiere decir que ambos sientan la misma satisfacción con una cesta determinada.

Volviendo al principio, dadas unas preferencias, ¿estás seguro de que existirá una función capaz de representarlas? Es posible asegurar que dicha función existirá siempre que las preferencias sean completas, transitivas y continuas (propiedades que ya habíamos pedido a los consumidores aquí tratados). La prueba de esta afirmación va más allá del alcance de este texto, pero si añadimos una propiedad común como es la monotonicidad, es fácil comprobar que hay una función (de hecho más de una) capaz de representar tales preferencias.

No hay necesidad de entrar en explicaciones formales de por qué la completitud y transitividad son necesarias para encontrar una función de utilidad que represente las preferencias. La función de utilidad asigna números a todas las cestas, por tanto comparar cestas es equivalente a comparar los correspondientes números. Pero si algunas preferencias no son completas entronces algunas cestas no podrían compararse. Y todos los números son comparables entre ellos, por tanto sería imposible encontrar una función que cumpliera con la definición de función de utilidad. De manera similar, preferencias intransitivas requerirían comparaciones no transitivas entre números, lo cual no es posible.

Un caso simplificado

Los consumidores que normalmente consideramos aquí tienen preferencias monótonas. Si añadimos esta propiedad a las que acabamos de pedir, es fácil encontrar una manera de etiquetar las cestas con números de modo que la definición de función de utilidad se satisfaga.

El primer paso es recordar que tener preferencias monótonas asegura que los puntos indiferentes forman líneas (curvas de indiferencia) con pendiente negativa. Si además la transitividad asegura que no se puedan cortar, cualquier línea recta que parta del origen cortará todas y cada una de las curvas de indiferencia. Los números en la figura son la distancia (euclídea) del punto de corte con el origen (0,0). Por tanto podemos asignar un número a cada curva, es decir, el mismo a todos los puntos que la forman. Curvas más elevadas están compuestas por puntos mejores, y su punto de intersección con la línea estará claramente más lejos del origen. Este método asegura que los valores asignados a todos los puntos cumplan la definición de función de utilidad.

¿Qué ocurriría si escogiéramos una línea diferente (puedes hacerlo arrastrando el punto azul de la figura)? Tendrías un nuevo conjunto de números, diferentes de los anteriores, que serían también capaces de representar las mismas preferencias. Como la función es ordinal, los números asignados no hacen referencia a una unidad sino que únicamente tienen sentido por comparación. Así, para las mismas preferencias tengo diferentes maneras de asignar números (diferentes funciones) que cumplan los requerimientos para ser funciones de utilidad que representen esas preferencias.

Por ejemplo, la función 'multiplicar por 2' resultará en una nueva función $\mathrm{V}(x_1, x_2) = 2\cdot \mathrm{U}(x_1, x_2)$. Esta función asigna a cada punto un número que es el doble del número asignado por la función $\mathrm{U}$. Pero números que previamente tenían el mismo valor de $\mathrm{U}$ tendrán el mismo valor de $\mathrm{V}$. Seguirán siendo indiferentes. Y si una cesta tenía un número mayor con $\mathrm{U}$, tendrá ahora un mayor valor con $\mathrm{V}$. Por tanto las preferencias representadas por la función $\mathrm{V}$ son exactamente las mismas que aquellas representadas por la función $\mathrm{U}$.

Saber que existe una función no es lo mismo que conocerla. Nosotros utilizaremos normalmente ciertos tipos de funciones en ejemplos y actividades, aunque puede haber tantas preferencias diferentes (y por tanto tantas funciones de utilidad) como consumidores.

En cualquier caso, la ventaja de representar las preferencias mediante funciones de utilidad es que se dispone de una serie de herramientas computacionales y gráficas para trabajar con las funciones, que nos permitirán avanzar en el problema.

Hacer click sobre la figura te dará la oportunidad de pensar y afianzar algunas de las ideas recién vistas.

Resumiendo:

Las preferencias, siempre que sean completas y transitivas (y continuas), pueden representarse mediante una función, denominada función de utilidad.

• La función de utilidad asigna un número a cada cesta de modo que a cesta mejor, mayor es el número asignado (si dos cestas son indiferentes, les asigna el mísmo número).
• Teniendo la función de utilidad podemos saber cómo compara el consumidor cualquier par de cestas.
• Las curvas de indiferencia se pueden obtener como curvas de nivel de la función de utilidad.
• Dadas unas preferencias, la función de utilidad no es única. Puede haber diferentes funciones que conduzcan a las mismas curvas de nivel aunque asignen a dichas curvas otros números, y que cumplan la definición de función de utilidad representando las mismas preferencias.

Función de utilidad   Curva de indiferencia   Curvas de nivel   Función ordinal   Transformación monótona positiva