Ahora nos plantearemos dos cuestiones: ¿Podemos proponer una función de utilidad para las preferencias de John? ¿Cómo serán sus curvas de indiferencia?
Recuerda que John es un poco especial. Cuando se enfrenta a dos cestas, multiplica el número de caramelos y nubes de cada una y prefiere la que resulta con un número mayor.
¿Puedes expresar sus preferencias con una función de utilidad? Recuerda que esto es una función que asigna números más altos a cestas mejores.Sol.
De hecho, el enunciado es ya la función expresada con palabras. Si lo que hace es multiplicar $C$ por $N$ y comparar el resultado, podemos escribir que \[ \mathrm{U}(C, N) = C\cdot N\]
Utiliza la función propuesta para comparar las cestas a = $(8,15)$, b = $(4,20)$, c = $(20, 6)$ y d = $(20, 18)$. Sol.
El siguiente paso es dibujar una curva de indiferencia. Elegimos un punto (cualquiera), como el punto (8, 15) (el punto a de la pregunta anterior). ¿Cómo será la curva formada por todos los puntos indiferentes a él?
¿Cuál el el valor de la función de utilidad en el punto a? Sol.
Como hemos calculado en b), $\mathrm{U}(8, 15) = 120$
Los puntos indiferentes al punto a serán aquellos que tienen la misma utilidad. ¿Cómo lo podemos expresar analíticamente? Sol.
Los puntos indiferentes son aquellos que tienen la misma utilidad. Por tanto los puntos indiferentes a a son aquellos que cumplen la ecuación $C \cdot N = 120$.
¿Cómo es la curva formada por los puntos que cumplen la expresión obtenida $C\cdot N = 120$? (si te gustan las matemáticas la cuestión te parecerá muy sencilla, pero lo haremos despacio de todos modos.)
Representamos $C$ (caramelos) en el eje horizontal y $N$ (nubes) en el vertical. Por ello, tenemos que despejar $N$ en la expresión anterior.* Así, los puntos con utilidad 120 (los indiferentes a a) tienen que cumplir
\[ C\cdot N = 120 \quad \Longrightarrow \quad N = \frac{120}{C} \]
Podemos utilizar ahora la calculadora para obtener tantos puntos como queremos; para cada valor de $C$ la función nos da el correspondiente valor de $N$.
Normalmente, para representar gráficamente una expresión matemática nos interesa despejar la variable a representar en el eje veritcal (a veces esto no es facil o incluso imposible, y se pueden utilizar otros métodos).
En la figura, rellena la primera columna con los valores de $N$ de modo que los puntos resultantes sean indiferentes al punto a. Cuando hayas terminado, comprueba con el botón inferior para ver la curva de indiferencia. Si lo has hecho bien, los puntos que has propuesto deben estar en la linea (si no, comprueba qué ha ido mal).
Repite el proceso para la segunda columna, buscando puntos indiferentes al punto d.
Finalmente, puedes clicar 'Ver mapa' para ver algunas curvas más. Los puntos b y c también aparecerán. Usa el mapa para comprobar el orden de preferencia entre los puntos vistos arriba en la pregunta b).
Hemos obtenido la función de utilidad de John, y hemos visto como dibujar las curvas de indiferencia usándola. ¿Podrías hacer lo mismo con las preferencias de Peter? (Función de utilidad, ecuación para puntos indiferentes, por ejemplo, indiferentes a (10,30), representación gráfica) Sol.
Peter prefiere la suma más alta posible, por tanto podemos usar la función $\mathrm{U}(C, N) = C+N$.
Con esa función de utilidad, la utilidad del punto (10, 30) es 40. Así, la ecuación de la curva de indiferencia será $C + N = 40$.
Despejando $N$, obtenemos $N=40 - C$, esto es, gráficamente, una linea recta con pendiente -1 que contiene todas las cestas cuya suma de bienes es 40 (como ya habíamos visto anteriormente).