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La demanda del consumidor 3.- Preferencias cuasilineales |
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La demanda del consumidor 3.- Preferencias cuasilineales |
Hasta el momento hemos trabajado con varias preferencias diferentes. Algunas pertenecen a familias
Una familia de funciones son funciones que, aunque pueden ser diferentes entre sí, tienen características comunes que las diferencian de otras familias. Cada familia de funciones tiene una forma funcional característica pero incluye diferentes funciones posibles según el valor que tomen los parámetros.
Por ejemplo, podríamos decir que la familia de funciones que son rectas tienen la forma $Y(x)=a+b\cdot x$ siendo el parámetro $a$ el corte en el eje vertical y el parámetro $b$ la pendiente. En este caso tanto $a$ como $b$ son prámetros, es decir constantes no determinadas de antemano, pero que para cada valor concreto de los mismos tendremos una función diferente (una recta diferente en este ejemplo).
, como las de Peter (Sustitutivos Perfectos), las de Mary (Complementarios Perfectos), las de John (Cobb-Douglas) o las e Amanda (CES
No hemos definido las preferencias CES todavía, pero es otro de los tipos de función con los que se suele trabajar porque ofrecen propiedades interesantes.
). También hemos usado algunas otras a las que no hemos puesto nombre. Recuerda que, en principio, puede haber tantas preferencias distintas como individuos.
En el siguiente ejemplo conocerás a Sandra. Tiene unas preferencias que pertenecen a una nueva familia, llamada preferencias cuasilineales. Las preferencias de este tipo tienen también ciertas propiedades que las hacen especiales y por eso aparecerán en el futuro en distintos escenarios.
Antes de seguir adelante trabaja, sin prisas, el ejemplo.
SandraComo hemos dicho, las preferencias de Sandra son un ejemplo de preferencias cuasilineales. Se les llama así porque pueden representarse por funciones de utilidad que dependen linealmente de uno de los bienes, y de forma no lineal del otro. \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = f(x_1) + a \cdot x_2 \]
donde $f(\cdot)$ es una función no lineal y $a$ un número positivo.
Se puede comprobar que en las preferencias cuasilineales el valor de la relación marginal de sustitución en un punto sólo depende de la cantidad del bien 1 que hay en la cesta.
Podemos calcular la RMS mediante el cociente de las utilidades marginales. Observa que la utilidad marginal del bien 2 resulta ser una constante.\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_1} = \frac{\mathrm{d}f(x_1)}{\mathrm{d} x_1} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_2} = a \] \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = - \frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) }{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) } = -\frac{\frac{\mathrm{d}f(x_1)}{\mathrm{d} x_1}}{a}\]
Observa que aunque estamos calculando la RMS para cualquier punto $(x_1, x_2)$, el valor obtenido sólo depende de la cantidad de $x_1$ que hay en la cesta.
De hecho, lo que caracteriza a unas preferencias cuasilineales es que su relación marginal de sustitución sólo depende de la cantidad de uno de los dos bienes * Aunque hemos propuesto que la función dependa linealmente de $x_2$, colocar los bienes en uno u otro eje es una decisión arbitraria. Igualmente sería cuasilineal una función \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = a x_1 + f(x_2) \] .
Sabemos que puede haber más de una función de utilidad que represente a las mismas preferencias.* Cualquier transformación monótona positiva de una función de utilidad representa a las mismas preferencias. Podríamos encontrarnos con una función de utilidad que no sea cuasilineal y que sin embargo represente a unas preferencias cuasilineales.
Ejemplo
Calculamos su relación marginal de sustitución: \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_1} = 25 + \frac{10x_2}{2\sqrt{x_1}} =\frac{5\cdot (10\sqrt{x_1} + 2 x_2)}{2\sqrt{x_1}} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_2} = 2 x_2 + 10\sqrt{x_1} \] \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = - \frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) }{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) } = -\frac{\frac{5\cdot (10\sqrt{x_1} + 2 x_2)}{2\sqrt{x_1} }}{2 x_2 + 10\sqrt{x_1}} = -\frac{5}{2\sqrt{x_1}}\]
La relación marginal de sustitución obtenida sólo depende de $x_1$, por lo que estamos ante unas preferencias cuasilineales. De hecho, esta RMS es la misma que habíamos obtenido en el primer ejemplo, por lo que esta función de utilidad también representa a las preferencias de Sandra.¿Cómo serán las funciones de demanda individual en el caso de las preferencias cuasilineales? Habrá que tener en cuenta que, como vimos en el ejemplo de Sandra, dependiendo de los datos hay casos en que la solución de tangencia funciona y otros en que no.
Como en tantos otros casos, el ejemplo ¿Lo has trabajado? nos ayuda a la hora de buscar la lógica de una respuesta más general.
Lo que tenemos es:
Para escribir las funciones de demanda llamaremos $x_1^*(p_1, p_2)$ a la cantidad de bien 1 que demandaría el consumidor según la condición de tangencia (que depende de los precios pero no de la renta).
Las funciones de demanda serán \[x_1(p_1, p_2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} x_1^*(p_1, p_2) & \mathrm{si} & m \geq p_1\cdot x_1^*(p_1, p_2) \\ \\ \frac{m}{p_1} & \mathrm{si} & m < p_1\cdot x_1^*(p_1, p_2) \end{array} \right. \] \[x_2(p_1, p_2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{m - p_1 x_1^*(p_1, p_2)}{p_2} & \mathrm{si} & m \geq p_1\cdot x_1^*(p_1, p_2) \\ \\ 0 & \mathrm{si} & m < p_1\cdot x_1^*(p_1, p_2) \end{array} \right. \]
Finalmente, ¿cómo serán la senda de expansión y las curvas de Engel?
Normalmente la condición de tangencia nos da la relación entre $x_1$ y $x_2$ que se da en todos los puntos óptimos, que forman la senda de expansión. En este caso eso no funciona por un doble motivo. Por un lado hemos visto que algunos puntos óptimos no son puntos de tangencia. Por otro, los casos que sí son de tangencia tienen una cantidad fija de bien 1, y $x_2$ no aparece en la ecuación.
Sin embargo, no hay problema para ver la senda de expansión en la figura (que corresponde al caso de Sandra). El botón 'Ver Senda de Expansión' la muestra, y el deslizador 'm' te permite ver el punto correspondiente a cada nivel de renta.
Dados unos precios, los puntos que forman la senda son los del eje horizontal mientras la renta no permita alcanzar el nivel óptimo $x_1^*(p_1, p_2)$, y la línea vertical sobre $x_1^*(p_1, p_2)$ para rentas mayores.
Con las curvas de Engel no hay problema en seguir la regla general, sustituyendo los precios concretos en las funciones de demanda. Eso sí, seguiremos teniendo funciones por tramos.* Los precios específicos que llevan a las siguientes curvas de Engel son los seleccionados con los deslizadores de la figura anterior.
Usando las funciones de Sandra para precios $p_1=1$ y $p_2=2$ tenemos Para ver estas curvas de Engel representadas en la figura (curvas de Engel), los deslizadores de la figura anterior (senda de expansión) te permiten seleccionar estos valores: $p_1= 1$ and $p_2=2$. :
\[ x_1(1, 2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} 25 & \mathrm{si} & m \geq 25 \\ \\ \frac{m}{p_1} & \mathrm{si} & m < 25 \end{array} \right. \]\[ x_2(1, 2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{m-25}{2} & \mathrm{si} & m \geq 25 \\ \\ 0 & \mathrm{si} & m< 25 \end{array} \right. \]