Volvamos con Sandra. Recuerda que su función de utilidad es

\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = 5 \sqrt{x_1} + x_2\]

y habíamos calculado su relación marginal de sustitución, \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{5}{2\sqrt{x_1}}\]

Para calcular las funciones de demanda planteamos el sistema habitual (condición de tangencia y ecuación presupuestaria) con precios y renta genéricos (parámetros): \[ \left. \begin{array}{c} -\frac{5}{2\sqrt{x_1}} = -\frac{p_1}{p_2} \\ p_1 x_1+ p_2 x_2 = m \end{array} \right\} \]

Como ya hemos observado, la primera ecuación sólo tiene una incógnita, por lo que podemos resolver para $x_1$ \[ -\frac{5}{2\sqrt{x_1}} = -\frac{p_1}{p_2} \Longrightarrow \frac{5 p_2}{2 p_1} = \sqrt{x_1} \Longrightarrow x_1 = \frac{25 p_2^2}{4 p_1^2} \]

Después, sustituyendo en la segunda ecuación, \[ p_1 \frac{25 p_2^2}{4 p_1^2} + p_2 x_2 = m \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{m - \frac{25 p_2^2}{4p_1}}{p_2} \]

Hay que tener en cuenta que, como vimos en el ejemplo de Sandra, hay casos en los que la condición de tangencia funciona pero en otros no. Como vimos en el ejemplo inicial, ciertos valores de precios y renta darían a $x_2$ un valor negativo. Fíjate que si $x_1 = \frac{25 p_2^2}{4 p_1^2} $, el dinero necesario para pagar esa cantidad será $p_1\cdot x_1 = \frac{25 p_2^2}{4 p_1}$. Lo que vemos en la solución obtenida para $x_2$ es que se gastará en bien 2 el dinero que queda después de restarle a la renta lo gastado en bien 1.

Si $m < \frac{25 p_2^2}{4 p_1}$ no tiene suficiente dinero para comprar la cantidad deseada de bien 1, por lo que tendrá que conformarse con comprar lo que pueda de bien 1, que será $\frac{m}{p_1}$, y nada de bien 2.

En la figura puedes ver cómo, dados unos precios, si $m$ es suficientemente grande compra el $x_1$ que le dice la condición de tangencia, y si no el punto del eje horizontal correspondiente a gastarse toda su renta en bien 1.

Ahora ya podemos escribir las correspondientes funciones de demanda de Sandra, que tendremos que definir por tramos:

\[x_1(p_1, p_2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{25 p_2^2}{4 p_1^2} & \mathrm{si} & m \geq \frac{25 p_2^2}{4 p_1} \\ \\ \frac{m}{p_1} & \mathrm{si} & m < \frac{25 p_2^2}{4 p_1} \end{array} \right. \] \[x_2(p_1, p_2, m) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{m - \frac{25 p_2^2}{4p_1}}{p_2} & \mathrm{si} & m \geq \frac{25 p_2^2}{4 p_1} \\ \\ 0 & \mathrm{si} & m < \frac{25 p_2^2}{4 p_1} \end{array} \right. \]