Glosario 3.- Preferencias cuasilineales
Ejemplo 1: Las preferencias de Sandra

Sandra es una consumidora cuyas preferencias pueden representarse por la función

\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = 5\cdot \sqrt{x_1} + x_2 \]

El objetivo es calcular las funciones de demanda de Sandra para ambos bienes, pero vayamos poco a poco.

¿Qué cesta demandará Sandra si tiene una renta $m=55$ y los precios son $p_1=1$ y $p_2=2$?

Las utilidades marginales son

Cada utilidad marginal de cada bien es la derivada parcial de la función de utilidad respecto del bien

\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = \frac{5}{2 \sqrt{x_1}} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = 1 \]
\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{5}{2 \sqrt{x_1}} \quad \quad \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = 1 \]

Podemos calcular la relación marginal de sustitución con el cociente de las utilidades marginales: \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)} = - \frac{5}{2 \sqrt{x_1}} \]

El siguiente paso es plantear el sistema formado por la ecuación presupuestaria y la condición de tangencia: \[ \left. \begin{array}{c} p_1 x_1+ p_2 x_2 = m \\ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{p_1}{p_2} \end{array} \right\} \quad \Longrightarrow \quad \left. \begin{array}{c} x_1 + 2\cdot x_2 = 55 \\ - \frac{5}{2 \sqrt{x_1}} = -\frac{1}{2} \end{array} \right\} \]

Resuelve el sistema. ¿Algún comentario?Sol.

Seguramente te has dado cuenta de que aunque sea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, en la condición de tangencia sólo aparece $x_1$, por lo que esa ecuación puede resolverse obteniendo la solución para $x_1$. \[ \sqrt{x_1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \Longrightarrow x_1^* = 25 \] Y de ahí, usando la otra ecuación, obtenemos $x_2$ \[ x_2^* = \frac{55 - 25}{2} = 15 \]

Tenemos que con estos datos la decisión de Sandra sería comprar la cesta $(x_1^*, x_2^*) = (25, 15) $ .

¿Y si con los mismos precios la renta fuera $m' = 15$? (Resuelve, y si encuentras algo raro piensa un poco antes de mirar la solución)Sol.

Al plantear el sistema la segunda ecuación no cambiará, ya que en ella no aparece $m$, por lo que volveríamos a obtener $x_1^*= 25$.

Pero ahora, al llevar ese 25 a la otra ecuación resulta que

\[ x_1 + 2 x_2 = 15 \Longrightarrow 25+2x_2= 15 \Longrightarrow x_2=-5\]

Pero una cantidad negativa de un bien no es una solución aceptable (no sabemos qué puede significar un consumo negativo). ¿Qué ha pasado aquí?

Quizá no te haya hecho falta mirar la solución para darte cuenta de que $x_1^*=25$ era una solución imposible, pues la renta $m=15$ no llega para pagarla. ¿Hemos hecho entonces algo mal? Matemáticamente no, pero la figura nos ayudará a entender lo que ha ocurrido.

Las curvas de nivel de la función de utilidad de Sandra cortan el eje horizontal. En términos matemáticos esto no tiene nada de raro, pero en términos económicos los valores negativos de $x_1$ o $x_2$ no tienen sentido. Sólo entenderíamos como curvas de indiferencia la parte de las curvas de la zona positiva.

Para la recta de balance inicial, la azul, el punto óptimo viene dado por la tangencia, como esperábamos. Pero en el segundo caso, en la recta de balance naranja, la tangencia nos llevaría a un punto por debajo del eje horizontal (y los puntos de la parte discontinua de la recta naranja no son aceptables). ¿Significa eso que con estos datos el problema no tiene solución? Sol.

Para nada. Sólo significa que en este caso la solución de tangencia no funciona. Pero sí hay un punto que es el mejor del segmento continuo de la recta naranja, ¿cuál? Sol.
Teniendo en cuenta que sólo puede elegir puntos del tramo continuo de la recta naranja, el punto que pertenece a una curva más alta es el de corte con el eje horizontal (como indica la figura).

Resumiendo, dados estos precios Sandra quiere compran 25 unidades de bien 1, que cuestan 25 libras. Si le sobra dinero lo gasta en bien 2. Si no le llega para comprar las 25 unidades de bien 1 compra todo lo que puede con su renta (y por tanto nada de bien 2).

¿Qué habría pasado con otros precios, por ejemplo $p_1=5$ y $p_2=6$ ? Sol.

Si repites el problema para estos precios verás que ahora Sandra querría comprar 9 unidades de bien 1, que cuestan 45 libras. Si su renta es mayor que 45 compra las nueve unidades y se gasta el resto en bien 2. Si $m<45$ se gasta toda la renta en comprar lo que pueda de bien 1.




Volver