Sea una situación inicial en la que un consumidor está consumiendo su cesta óptima, dada su renta y los precios vigentes en los mercados para los bienes 1 y 2. (Es un consumidor con preferencias bien comportadas Monótonas y estrictamente convexas. ).

¿Qué crees que haría el consumidor si su renta aumentara?

Usaremos las herramientas que tenemos para estudiar las posibilidades, e incluso introduciremos nuevos conceptos. Pero antes dedica unos minutos a considerar las siguientes posibles respuestas a la pregunta. ¿Quizá alguna de ellas es la que tú darías? Cuidado, sólo una de ellas es correcta.

• "El consumidor consumirá más, dado que ahora tiene mayor poder adquisitivo". Sol.
  Ambigua. ¿Qué significa 'consumir más'? Ten en cuenta que hablamos de una 'cesta' de bienes. ¿'Más' significa más de cada uno de los dos bienes? ¿O sólo de uno de ellos? ¿Y del otro?
• "Consumirá más o no. Depende de si se gasta la nueva renta." Sol.
  Falso.
  Nos han dicho que tiene preferencias monótonas, así que seguro que se gasta toda la renta.
• "Seguro que consume más de alguno de los bienes" Sol.

  ¡Correcto!

  Dado que los precios no han cambiado, consumir lo mismo, o menos, de los dos bienes costaría menos dinero. Y con preferencias monótonas no tendría sentido dejar dinero sin gastar. Pero sí podría haber una cesta más cara que tuviese más de un bien y menos del otro que la inicial.
• "Consumirá una cantidad total de bienes mayor, puesto que tiene más dinero." Sol.

  Incorrecta.

  ¿Qué significa 'una cantidad total de bienes'? Quizá el bien 1 son manzanas y el bien 2 clases de tenis. ¿Tiene sentido decir que en la cesta (8, 2), que son 8 manzanas y dos clases de tenis, ha consumido 10 en total? ¿10 qué?

De las anteriores afirmaciones (y sus explicaciones) podemos sacar al menos un par de cosas:

Primero, debemos ser cuidadosos con el lenguaje. En este caso al hablar de una cesta de bienes (vector), algunas afirmaciones no tienen sentido. No hay una 'cantidad de bienes', sino una 'cantidad de cada bien'. Es cierto que estamos acostumbrados a hablar en dinero, y así entendemos que un consumo de 100 euros es mayor que uno de 80. Pero eso no nos dice lo que ha pasado con el consumo de cada bien.

La precisión en el lenguaje, evitando sobrentendidos y ambigüedades, es muy importante tanto al transmitir información como al construir el propio razonamiento. De hecho, la exigencia de precisión es una de las principales aportaciones que el uso de expresiones y razonamientos matemáticos aporta a la microeconomía.

En segundo lugar, podemos ver que la única afirmación correcta no proporciona una respuesta muy concreta. Pero eso puede pasar con muchas preguntas, y eso sólo significa que hay diferentes posibilidades, en este caso dependiendo de las preferencias de los consumidores.* En todo caso, aunque no podamos concretar lo que sí va a pasar cuando aumente la renta, sí podemos decir que ciertas respuesta, como que consuma menos de ambos bienes, no podrían darse.

Veamos la siguiente figura. En ella tenemos dos consumidores diferentes que deben tomar su decisión ante el mismo conjunto presupuestario. Cada uno de ellos demanda inicialmente una cesta diferente, pero lo que nos interesa ahora es su respuesta a una variación en su renta. El control $\Delta m$ te permite proponer una variación (positiva o negativa). Hazlo, y observa las respuestas.

Mira la figura de la izquierda* No es que sea relevante saberlo en este momento, pero son las preferencias de Amanda. ¿Qué ocurre si aumentas la renta ($\Delta m > 0$)?

Como hemos visto ya anteriormente, un aumento de la renta desplaza la recta de balance hacia la derecha, en paralelo La pendiente de la recta de balance la da el cociente de precios, $-\frac{p_1}{p_2}$, que no ha cambiado. .

Vemos que aumenta la cantidad consumida de los dos bienes. ¿Te parece una respuesta razonable? Sol.

Ahora observa la figura de la derecha. ¿Cómo responde este consumidor al aumento de la renta? Vemos que aumenta su consumo de bien 2, pero reduce su consumo del bien 1. ¿Es un comportamiento muy raro? Sol.

Aunque ante el mismo aumento de renta uno y otro consumidor responden de forma diferente (opuesta, en lo que se refiere al bien 1), ambas respuestas son perfectamente razonables. Simplemente los dos consumidores tienen preferencias diferentes.

Bienes Normales e Inferiores

Decimos que un bien es Normal para un consumidor si este demanda mayor cantidad del bien cuando aumenta su renta (o menor cuando $m$ disminuye). Si la respuesta del consumidor es reducir su consumo de un bien cuando su renta aumenta decimos que ese bien es Inferior para ese consumidor.

Dos observaciones:

• Fíjate en que decimos Normal o Inferior para el consumidor. En realidad no estamos hablando del bien, sino de las preferencias del consumidor sobre ese bien. En las figuras, el mismo bien que es Normal para el consumidor de la izquierda, es Inferior para el de la derecha.
• Ser Inferior (o Normal) es una característica local. Quizá el consumidor aumentaría su consumo de autobús cuando su renta pasa de 50 a 80, pero empieza a reducirlo cuando la renta pasa de 80 a 100; el autobús sería para este consumidor Normal para rentas bajas, pero Inferior a partir de cierto nivel de $m$.

¿Cómo saber si un bien es Normal o Inferior para un consumidor?

Puesto que hablamos de preferencias, la respuesta más obvia es: preguntando al consumidor. O bien, como hemos hecho arriba, mirando las figuras que representan las preferencias.

En nuestro escenario, con las preferencias captadas por las funciones de utilidad, podríamos calcular las cestas óptimas antes y después de la variación de ingresos, para tener una respuesta más precisa.

Ejemplo 

Pero hay una forma más potente de responder a la pregunta, usando las funciones de demanda individual. Suponiendo que las tengamos, o sepamos calcularlas, podemos preguntarnos cómo varía el valor de las cantidades demandadas ante un aumento de la renta. Esto nos permitirá responder a la pregunta de si un bien es Normal o Inferior. Por ejemplo, en el caso de John ya hemos calculado anteriormente que sus funciones de demanda son

\[ C(p_C, p_N, m) = \frac{m}{2\cdot p_C} \quad \quad N(p_C, p_N, m) = \frac{m}{2\cdot p_N} \]

Viendo estas funciones está claro que a mayor valor de $m$ mayor demanda tanto de $C$ como de $N$. Ambos bienes son Normales.

Ver Mates

¿Y para Mary? ¿Son los caramelos y las nubes bienes Normales o Inferiores? Sol.

Senda de expansión y curvas de Engel

Vamos a construir dos herramientas que representan gráficamente la relación entre la renta y la decisión del consumidor.

La primera es la llamada senda de expansión de la renta.

Ya hemos visto gráficamente la respuesta a una variación de renta, que lleva de una situación inicial a una nueva. Pero podemos, sin cambiar los precios, añadir a la figura nuevos valores de $m$, con sus correspondientes cestas óptimas.

En la siguiente figura se ve inicialmente la cesta demandada para unos precios y una renta, pero puedes activar distintos valores de $m$ con sus correspondientes puntos óptimos.

• ¿Cómo son las rectas de balance que van apareciendo? ¿Por qué?Sol.
  Son todas paralelas, ya que su pendiente viene dada por los precios, no por la renta.
• ¿Qué pasaría si pudieras añadir nuevos valores de $m$ con valores intercalados entre los que aparecen propuestos? Sol.
  Tendríamos nuevas rectas de balance, también paralelas, cada una con su nuevo punto óptimo.

Aunque no entramos en una demostración formal, podemos intuir que si pusiéramos muchos valores de $m$ cercanos entre sí los puntos óptimos irían formando una línea (activa 'Senda de expansión de la renta').

Dados unos precios fijos, llamamos senda de expansión de la renta (o también línea renta-consumo) a la línea formada por los puntos que serían óptimos para algún valor de $m$.

Las siguientes cuestiones intentan ayudarte a comprender la información ofrecida por la senda de expansión.

• La definición comienza diciendo 'dados unos precios fijos'. ¿Qué pasaría si un precio cambiase? Sol.
  Para cada uno de los niveles de renta, la recta de balance cambia su pendiente, y por tanto también cambia el punto óptimo. Tendríamos un nuevo conjunto de puntos óptimos, esto es, una nueva senda de expansión. Puedes mover $p_1$ y/o $p_2$ en la figura para verlo.
• La senda de expansión dibujada sale del punto $(0, 0)$. ¿Algún comentario o interpretación? Sol.
  La senda tiene que salir del origen de coordenadas, ya que la demanda cuando $m=0$ tiene que ser forzosamente no comprar nada (recuerda que en nuestro escenario no es posible consumir a crédito o ahorrar).
• La senda de expansión de la figura tiene pendiente positiva. ¿Tiene esto alguna interpretación? Sol.
  La pendiente positiva significa que según va aumentando la renta van aumentando tanto $x_1$ como $x_2$. Por tanto ambos son bienes normales.
• ¿Qué veríamos si el bien 1 fuese inferior? Sol.
  Debería pasar que al aumentar $m$ de demande menos bien 1 (y más de bien 2). Esto significa que la senda de expansión debería subir volviéndose hacia atrás (hacia la izquierda).
  ¿Y si el Inferior fuera el bien 2? Sol.
  Con el mismo razonamiento, la senda de expansión debería bajar hacia la derecha (disminución de $x_2$ al aumentar $x_1$).
• "Si con $m=0$ no se demanda nada de bien 2 (tampoco de bien 1), al aumentar la renta no se puede demandar menos que nada. Por tanto es imposible que el bien 2 sea inferior". ¿VERDADERO o FALSO? Sol.
  El razonamiento es incorrecto porque ignora el carácter local del concepto de bien Inferior. Es cierto que cualquier bien tiene que ser Normal para un nivel de renta bajo, pero puede ser inferior a partir de cierto valor de $m$ (no es el caso del ejemplo, que es Normal siempre). Dicho en términos gráficos, la senda de expansión siempre saldrá del $(0, 0)$ con pendiente positiva, pero empezaría a bajar si el bien 2 es inferior, o se volvería hacia la izquierda si fuese inferior el bien 1.

¿Podríamos calcular la senda de expansión de la renta?

Observa una vez más la figura. ¿Qué tienen en común todos los puntos que forman la senda de expansión? Cada uno es el punto óptimo de una recta de balance, para cierto valor de $m$. Cada uno de esos puntos se calcularía planteando el sistema con la ecuación presupuestaria y la condición de tangencia. Pero mientras la ecuación presupuestaria es diferente para cada valor de $m$, la renta no está en la condición de tangencia. Resumiendo, dados unos precios fijos todos los puntos de la senda de expansión cumplen la misma ecuación de tangencia,

\[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = - \frac{p_1}{p_2} \]

Por ejemplo, en el caso de John, con $\mathrm{U}(C, N) = C\cdot N$, ¿cuál sería la senda de expansión si $p_C=2$ y $p_N=4$? Sol.

¿Cómo cambiaría si los precios hubieran sido $p_C=3$ y $p_N=2$? Sol.

¿Y qué pasa con aquellas preferencias en las que la condición de tangencia no funciona, como el de Mary? Ya hemos visto que puede haber más de un motivo, y en cada caso habría que buscar la estrategia adecuada.

Ejemplo

Los ejemplos de John y Mary nos han dado sendas de expansión rectas. Pero en la figura de más arriba la senda de expansión era una curva. En realidad las sendas de expansión pueden tener diferentes formas, dependiendo de las preferencias. Normalmente buscamos mantener las operaciones lo más sencillas posible y nuestras funciones de utilidad suelen dar lugar a sendas de expansión rectas, pero puede haber muchos otros casos.

Example

La segunda forma de representar gráficamente la relación entre renta y consumo de bienes son las llamadas curvas de Engel. Más concretamente, dados unos valores fijos de los precios llamamos curva de Engel de un bien Habrá una curva para el bien 1 y otra para el bien 2. a la curva que relaciona el nivel de renta con la cantidad demandada de ese bien.

Esta figura corresponde al bien 2 para el consumidor del último ejemplo, dados unos precios $p_1=3$ y $p_2=4$. ¿Sabrías calcularla, sabiendo que su función de demanda del bien 2 es $x_2(p_1, p_2, m) = \frac{p_1 \left( \sqrt{\frac{p_1+4m}{p_1} } -1 \right)}{2 p_2}$? Sol.

La curva de Engel de la figura tiene pendiente positiva. ¿Tienes alguna interpretación? Sol.

¿Qué pasaría si cambiáramos los precios? Sol.

Si, por ejemplo, subiera $p_2$? Sol.

Example

Resumiendo:

Dados unos precios fijos, ¿cómo responde un consumidor a un cambio en su renta?

• Si al aumentar la renta aumenta su consumo de un bien decimos que ese bien es Normal para el consumidor.
• Si al aumentar la renta reduce su consumo de un bien decimos que ese bien es Inferior para el consumidor.
• Podemos ver si un bien es Normal o Inferior (y para qué niveles de $m$) observando las funciones de demanda de los bienes.* Matemáticamente, podemos mirar el signo de las derivadas parciales de las funciones de demanda respecto de $m$. Donde el signo es positivo el bien es Normal (donde es negativo es Inferior).
• La senda de expansión recoge, dados unos precios fijos, los puntos que son óptimos para algún nivel de renta.
• Las curvas de Engel muestran gráficamente la relación entre la renta y el consumo de cada bien (dados unos precios fijos).

Bien Normal   Bien Inferior
Senda de expansión de la renta   Curva de Engel