| Glosario | 1.- Funciones de demanda individuales Ejemplo 3: Amanda |
Las preferencias de Amanda Has podido verlas representadas en la figura de la Introducción. pueden representarse con la función de utilidad
\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^{1/2} + x_2^{1/2} \]¿Cuáles serán sus funciones de demanda individual?
El primer paso sería calcular su relación marginal de sustitución. Tienes el resultado abajo, pero estaría bien como ejercicio hacer tú el cálculo (derivadas parciales).
Obtenemos en primer lugar las utilidades marginales, que son las derivadas parciales de la función de utilidad: \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) =\frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_1} = \frac{1}{2} x_1^{-1/2} = \frac{1}{2 x_1^{1/2}} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) =\frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2) }{\partial x_2} = \frac{1}{2} x_2^{-1/2} = \frac{1}{2 x_2^{1/2}} \]
El cociente (con signo negativo) de las utilidades marginales nos da la relación marginal de sustitución \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{\mathrm{UMg}_1}{\mathrm{UMg}_2} = - \frac{\frac{1}{2 x_1^{1/2}}}{\frac{1}{2 x_2^{1/2}}} = -\frac{x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}} \]
Ya podemos plantear el sistema, con la ecuación presupuestaria y la condición de tangencia: \[ \left. \begin{array}{c}-\frac{x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}} = -\frac{p_1}{p_2} \\ p_1 \cdot x_1+ p_2 \cdot x_2=m \end{array} \right\} \] Para resolverlo podemos, por ejemplo, despejar $x_2$ en la primera ecuación y sustituir en la segunda (de nuevo, el botón te permite comprobar las operaciones que estaría bien que hicieras por tu cuenta).
De la primera ecuación tenemos \[ x_2^{1/2} = \frac{p_1}{p_2} x_1^{1/2} \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{p_1^2}{p_2^2} x_1 \] Y sustituyendo en la segunda ecuación \[ p_1 \cdot x_1+ p_2 \cdot \frac{p_1^2}{p_2^2} x_1=m \quad \Longrightarrow \quad p_1 p_2 x_1 + p_1^2 x_1 = p_2 m \] \[ (p_1 p_2 + p_1^2) x_1 = p_2 m \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{p_2 \cdot m}{p_1 (p_1 + p_2)}\] Y de ahí \[ x_2 = \frac{p_1^2}{p_2^2} \cdot \frac{p_2 \cdot m}{p_1 (p_1 + p_2)} = \frac{p_1 \cdot m}{p_2 (p_1 + p_2)} \]
Resuelto el sistema las funciones de demanda de Amanda quedan: \[ x_1(p_1, p_2, m) = \frac{p_2 \cdot m}{p_1 (p_1 + p_2)} \quad \quad x_2(p_1, p_2, m) = \frac{p_1 \cdot m}{p_2 (p_1 + p_2)}\]
¿Qué compraría Amanda si tuviera una renta 100 para gastarse en los bienes 1 y 2 a precios $p_1=2$ y $p_2=3$ Sol.
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