¿Recuerdas las preferencias de Mary? Le gustan los caramelos y las nubes, siempre que pueda consumir un caramelo con cada nube, desechando el exceso de uno u otro.* Es un caso de bienes complementarios perfectos.

Anteriormente resolvimos el problema de Mary para una renta $m=60$ y unos precios $p_C=1$ y $p_N=2$. Ahora nos preguntamos qué podemos decir sobre la decisión de Mary para unos datos genéricos, $m$, $p_C$ y $p_N$, cuyo valor no conocemos.

Si Mary quiere gastar su renta de la mejor manera posible, ¿comprará más caramelos que nubes o más nubes que caramelos? Sol.

De la respuesta a la pregunta anterior podemos deducir que la cesta elegida por Mary debe tener igual cantidad de caramelos que de nubes, esto es, debe cumplir la ecuación \[ C = N.\]

Sabemos también que Mary sólo puede elegir cestas que pueda pagar. Esto significa que la cesta elegida debe satisfacer la ecuación presupuestaria.

\[ p_C \cdot C + p_N \cdot N = m \]

Resumiendo, la cesta óptima, $(C^*, N^*)$, será la que cumpla las dos condiciones (ecuaciones) anteriores. Esto significa que podemos obtenerla como solución al sistema de ecuaciones

\[ \left. \begin{array}{c}C=N \\ p_C \cdot C+ p_N \cdot N=m \end{array} \right\} \]

Quizá te sorprenda ver que hablamos de resolver un sistema de dos ecuaciones en el que hay cinco variables (letras) y ningún número. En casos como este es importante tener claro que no todas las variables son iguales. Las cantidades de los bienes, $C$ y $N$ son las incógnitas; las variables cuyo valor queremos resolver. Las otras variables, $p_C$, $p_N$ y $m$, son los parametros, datos cuyo valor no conocemos (todavía). Resolver el sistema es despejar las incógnitas, que quedarán como función de los parámetros.

Usando la primera ecuación despejamos $N$ para sustituir en la segunda. Así, tenemos que

\[ p_C\cdot C + p_N \cdot C = m \quad \Longrightarrow \quad C = \frac{m}{p_C + p_N} \]

Y de ahí la primera ecuación nos permite escribir

\[ N = \frac{m}{p_C + p_N} \]

Estas dos expresiones nos dan las cantidades óptimas de $C$ y $N$ para cada posible conjunto de renta y precios. En el caso inicial Mary tenía $m=60$ y encontraba en el mercado unos precios $p_C=2$ y $p_N=1$. Puedes comprobar que sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores obtenemos la misma cesta óptima, $(C^*, N^*) = (20, 20)$, que ya obtuvimos en el capítulo anterior.

¿Qué compraría Mary si tuviera $m=90$ y los precios fueran $p_C=3$ y $p_N=2$? Sol. Sustituyendo los datos obtenemos $\frac{90}{3+2}= 18$ para cada uno de los dos bienes. ¿Y si el precio de los caramelos fuera $p_C=2$? Sol. Haremos lo mismo que antes, obteniendo ahora, para cada uno de los dos bienes, $\frac{90}{2+2}$. Recuerda que, salvo que se diga expresamente lo contrario, consideramos todos los bienes fraccionables. No tenemos problema en decir que en este caso la solución es $(C^*, N^*) = (22.5, 22.5)$.

En este caso no es difícil hacer una interpretación de las expresiones obtenidas. Lo que satisface a Mary es consumir un 'pack' formado por un caramelo y una nube. Un pack cuesta en el mercado $p_C+ p_N$, y dividiendo la renta entre ese coste tenemos el número de packs que puede comprar con su renta. * De hecho, el razonamiento anterior nos habría permitido obtener las funciones sin necesidad de usar ecuaciones. Pero la ventaja de éstas es que siguen funcionando en casos en que el razonamiento es menos evidente, como veremos con otras preferencias.

¿Y gráficamente?

Como ya hemos visto se trata de elegir el punto de la recta de balance que pertenezca a la curva de indiferencia más alta posible. Recuerda que cuando vemos un Mapa de Indiferencia sólo estamos viendo algunas de las curvas, pero todos los puntos del plano pertenecen a una curva. La figura nos permite deducir que el punto que buscamos va a ser el vértice de una curva de indiferencia. Y los vértices son los puntos en los que no sobra nada, esto es, en los que $N=C$. Gráficamente la solución que buscamos es el punto de corte entre la reta de balance y la recta que pasa por todos los vértices (la línea discontinua de la figura).

Un reto: ¿Y si a Mary le gustase comer dos nubes con cada caramelo? ¿Cómo cambiarían las cosas? Sol. La recta de balance sería la misma, ya que depende de renta y precios, no de las preferencias. Por tanto la solución que buscamos ha de cumplir $p_C \cdot C+ p_N \cdot N=m$.
En cambio ahora Mary comprará un número de nubes igual al doble del número de caramelos, esto es, $N=2\cdot C$.
Por tanto el sistema a resolver será \[ \left. \begin{array}{c}N=2\cdot C \\ p_C \cdot C+ p_N \cdot N=m \end{array} \right\} \] Resolviendo (como antes, empezamos por usar la primera ecuación para sustituir $N$ en la segunda) obtenemos \[ C = \frac{m}{p_C + 2 p_N} \quad \quad N = 2\cdot \frac{m}{p_C + 2 p_N}\] La interpretación es similar a la anterior, aunque ligeramente más complicada. Ahora el coste de un pack es $p_C+2p_N$. Dividiendo la renta entre ese coste tenemos el número de packs que se pueden comprar. La cesta óptima contiene una cantidad de caramelos igual al número de packs, y el doble número de nubes (puesto que necesita dos para cada pack).