El consumidor debe decidir cómo usar cierta cantidad de dinero, $m$, que puede gastar en los bienes 1 y 2. Cada unidad de bien 1 cuesta $p_1$, y cada unidad de bien 2 cuesta $p_2$.

El primer paso en cualquier problema de decisión es identificar cuáles son las alternativas entre las que se puede elegir.

Usamos la variable $x_1$ para representar la cantidad de bien 1, y $x_2$ para la de bien 2. Una combinación (o cesta) que contiene cierta cantidad de cada uno de los dos bienes la expresaremos como $(x_1, x_2)$. Así, $(x_1, x_2) = (10, 6)$ es una cesta con diez unidades de bien 1 y seis de bien 2. La pregunta es, entonces: ¿qué combinaciones $(x_1, x_2)$ están al alcance del consumidor?

La respuesta es simple: aquellas que pueda comprar con su renta a precios vigentes en el mercado.

Ejemplo

Estamos ante una cuestión sencilla, y seguramente no has tenido problemas para responder a las preguntas del ejemplo. De todas formas, en este punto vamos a trabajar muy despacio para ver cómo la Microeconomía busca la forma de expresar las cosas de una manera genérica que pueda ser usada en muchas situaciones. Vamos a plantear una serie de preguntas. Son simples, pero debes estar seguro de comprender completamente las respuestas.

• Supongamos que el precio vigente para el bien 1 es $p_1=3$. ¿Cuánto costarían cinco unidades del bien (esto es, $x_1=5$)? Sol.
  El precio es lo que cuesta una unidad, así que cinco unidades a precio 3 costarán un total de $3 \cdot 5=15$.
• Supón ahora que hay que comprar cinco unidades de bien 1, pero no sabemos todavía el precio. ¿Qué podemos decir sobre el coste total de las cinco unidades? Sol.
  Lógicamente no podemos dar aquí una respuesta numérica, pero sí podemos adelantar un poco el trabajo y afirmar que cinco unidades costarán cinco veces el precio, esto es, $p_1 \cdot 5$.
• Ahora al revés, sabemos que $p_1=3$, y hay que comprar cierta cantidad de bien 1 aún no determinada. ¿Cuánto costarían $x_1$ unidades del bien?Sol.
  Como en el caso anterior, la respuesta que podemos dar es multiplicar el precio (conocido) por la cantidad (desconocida).
  $x_1$ unidades costarán $3\cdot x_1$.
• Finalmente, ¿cuanto costaría comprar $x_1$ unidades de bien 1 a un precio $p_1$? Sol.
  $p_1 \cdot x_1$

Puede que pienses que en las cuatro preguntas anteriores hemos hecho básicamente lo mismo. Tienes toda la razón. Pero en la primera hemos contestado a una pregunta concreta sobre un caso concreto, mientras que en la última hemos expresado formalmente la regla que sirve para contestar tanto a la primera como a una infinidad de preguntas similares. Ese proceso de formalización es el que nos permitirá ir construyendo poco a poco elementos más complejos, que sirvan para plantear y contestar preguntas mucho menos evidentes.

Ahora sigamos avanzando.

Hemos establecido que el valor de mercado de $x_1$ unidades de bien 1 es el resultado de multiplicar precio por cantidad, $p_1 x_1$. De manera similar, el valor de una combinación de bienes $(x_1, x_2)$ puede obtenerse como $p_1 x_1 + p_2 x_2$. Así, las combinaciones de bienes que un consumidor puede comprar con una renta $m$ son aquellas que cumplen: \[ p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m \] Esta desigualdad se denomina la restricción presupuestaria, y las combinaciones que la satisfacen se denominan el conjunto de consumo. Este conjunto de consumo es precisamente el conjunto de alternativas que estamos intentando identificar, aquellas entre las que el consumidor puede elegir.

Ejemplo

El siguiente paso será la representación gráfica. ¿Cómo se puede respresentar la restriccióm presupuestaria de manera gráfica?

Usaremos unos ejes cartesianos, midiendo la cantidad de bien 1 en el eje horizontal, y la del bien 2 en el eje vertical. Así, cualquier combinación de bienes $(x_1, x_2)$ puede verse como un punto en la figura (y cada punto de la figura correspondería a una combinación de bienes.) *

Pero no todas las combinaciones que están en esa figura están al alcance del consumidor.

Comenzaremos por dibujar los puntos que satisfacen la restricción anterior con igualdad, es decir, aquellas que cuestan exactamente $m$.

Si gastas toda tu renta en bien 1 obtienes $\frac{m}{p_1}$ unidades*. En este caso no compras bien 2, es decir, tendrías la cesta $(x_1, x_2)=(\frac{m}{p_1}, 0)$ cuyo valor de mercado es $p_1\cdot \frac{m}{p_1}+ p_2 \cdot 0 = m$. Esta cesta corresponde al punto en el eje horizontal. Si, por otro lado, gastas toda tu renta en bien 2, tendrías la cesta $(x_1, x_2)=(0, \frac{m}{p_2})$, que es el punto en el eje vertical.

Pero también es posible gastar renta en ambos bienes: dependiendo de la proporción gastada en cada uno, las diferentes combinaciones que forman la llamada recta presupuestaria aparecen.

Los puntos de la recta presupuestaria satisfacen la restricción presupuestaria con igualdad, es decir, cumplen la ecuación presupuestaria: \[ p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \]

¿Cómo será la linea formada por todas estas combinaciones?

Ejemplo 

En el ejemplo, los puntos que cuestan $m$ forman una línea recta. ¿Es esa forma una propiedad de este ejemplo en particular, o también sería una recta en cualquier otro ejemplo? Las matemáticas pueden darnos una respuesta rápida (puedes verlo más abajo), pero seguir un camino más lento puede enseñarnos cosas interesantes.

Supón que estás en un punto específico de la recta presupuestaria y estás dispuesto a aumentar tu consumo de bien 1. Esto es posible siempre que dejes de comprar cierta cantidad de bien 2. Son los precios los que determinan este intercambio. Por ejemplo, si el precio del bien 1 es doble que el del bien 2, comprar una unidad adicional de bien 1 significa tener que dejar de comprar dos de bien 2. En general, el cociente de p recios, $\frac{p_1}{p_2}$, es el ratio al que un consumidor puede cambiar un bien por otro en el mercado. Concretamente, determina cuantas unidades de bien 2 cuestan lo mismo que una unidad de bien 1.

Por ello, al cociente de precios se le denomina el precio relativo. Se puede leer también como el coste de oportunidad de bien 1 en términos de bien 2.

Podemos expresar el razonamiento anterior con un carácter más general. Partimos de un punto inicial, $\textrm{A}=(x_1, x_2)$, que está en la recta de balance, y cumple por tanto la ecuación presupuestaria. Usamos $\Delta x_1$ para referirnos a una variación en la cantidad de bien 1. Un aumento del consumo de bien 1 (esto es, $\Delta x_1>0$) obligará a reducir el consumo de bien 2 en cierta cantidad ($\Delta x_2 < 0$). La nueva cesta será $\textrm{B}=(x_1+\Delta x_1, x_2+\Delta x_2)$. Pero esta cesta es otra forma de gastar la misma cantidad de dinero $m$, y tendrá que cumplir la ecuación \[ p_1 (x_1 + \Delta x_1) + p_2 (x_2 + \Delta x_2) = m\]

Expandiendo la expresión y reordenando los elementos tenemos \[ p_1 x_1+ p_2 x_2 - m + p_1 \Delta x_1 + p_2 \Delta x_2 = 0 \]

Puesto que el punto inicial está en la recta, cuesta $m$, por lo que $p_1 x_1+ p_2 x_2 - m=0$, y la expresión se simplifica a \[ p_1 \Delta x_1+ p_2 \Delta x_2 = 0 \] Expresión que tiene una lectura muy sencilla: el valor de mercado de la cantidad añadida de bien 1 ha de ser igual al valor de la cantidad reducida de bien 2. (La igualdad sería válida igualmente si lo que hacemos es reducir el bien 1, $\Delta x_1<0$, aumentando a cambio el bien 2, $\Delta x_2>0$.)

Reordenando de nuevo tenemos que, para movimientos entre dos puntos de la línea presupuestaria, \[ \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = - \frac{p_1}{p_2} \]

Ahora vemos en el lado izquierdo el cociente de variaciones, cuyo valor nos dice cuánto ha de variar $x_2$ por cada unidad que varíe $x_1$. Y la expresión nos dice lo que ya habíamos visto en el ejemplo: el cociente de precios indica el coste de oportunidad de una unidad de bien 1 medido en unidades de bien 2. El signo negativo viene del signo contrario de las variaciones.

Gráficamente, al movernos de un punto a otro en el plano, el cociente entre la variación vertical y la variación horizontal es lo que llamamos pendiente del segmento que une los puntos. Dado que en la línea presupuestaria cualquier movimiento entre dos puntos da lugar al mismo valor, $-\frac{p_1}{p_2}$, significa que estamos ante una línea recta.

Podemos concluir, por lo tanto, que la representación gráfica de la recta presupuestaria es efectivamente una línea recta con pendiente $-\frac{p_1}{p_2}$ en todos los casos, no sólo en nuestro ejemplo.

Ver Mates

¿Cómo será la recta presupuestaria de Peter, John y Mary? Ejemplo 

Una vez representados los puntos (cestas) que cuestan exactamente $m$ debemos recordar que también están al alcance del consumidor las cestas que cuestan menos de $m$. Es fácil darse cuenta de que dichos puntos serán todos los que están por debajo de la recta presupuestaria, pues contienen cantidades menores que cestas que están en la recta. Igualmente, cualquier punto que esté por encima de la recta puede verse como un punto que contiene más de los dos bienes que algunos de los puntos de la recta, y debe por tanto costar más dinero. Así pues, podemos concluir que la representación gráfica del conjunto presupuestario es la recta de balance más el área que queda por debajo.

Resumiendo:

¿Cuales son las alternativas disponibles para un consumidor que tiene una renta $m$ para gastar en bienes 1 y 2 cuyos precios son $p_1$ y $p_2$?

• El valor de mercado de cualquier cesta es $p_1 x_1 + p_2 x_2$.
• El conjunto presupuestario consite en cestas cuyo valor de mercado es igual o menor que $m$, es decir, cumplen la restricción presupuestaria, \[ p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m \]
• Gráficamente, las cestas que cuestan exactamente $m$ forman la recta presupuestaria también llamada recta de blance: \[ p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \] Los puntos por encima cuestan más, lo de debajo cuestan menos.
• La pendiente de la recta presupuestaria está dada por el cociente de precios, $-\frac{p_1}{p_2}$. Su valor se puede interpretar como el coste de oportunidad del bien 1, o como el precio relativo (de bien 1 en unidades de bien 2). Indica la cantidad de bien 2 a la que hay que renunciar para consumir una unidad de bien 1.

Renta   Precio   Cesta   Restricción presupuestaria Conjunto presupuestario   Recta presupuestaria/Recta de balance    Ecuación presupuestaria  Pendiente de una recta   Precio relativo   Coste de oportunidad

(Algunas cuestiones para comprobar tu comprensión de los nuevos conceptos adquiridos en la sección.)