La función de utilidad de John es $\mathrm{U}(C, N) = C \cdot N$. Ya hemos calculado la combinación que permite alcanzar la utilidad 450 de la forma más barata posible cuando los precios son $p_C=3$ y $p_N=6$. Ahora se trata de volver a contestar la misma pregunta, pero sin dar un valor concreto a la utilidad y los precios.

¿Cuál será la cesta más barata que consigue una utilidad $u$ si los precios son $p_C$ y $p_N$?

Tendremos que dar los mismos pasos que dimos antes.

• ¿Cuáles son las combinaciones entre las que hay que elegir? Sol.
  Hay que elegir una de entre todas las cestas que proporcionan a John la utilidad $u$.
  ¿Cómo expresar esas alternativas de forma operativa? Sol.
  Los puntos de utilidad $u$ forman una curva de indiferencia. Deben cumplir la ecuación de la curva de indiferencia de nivel $u$, \[ C \cdot N = u \]
• Gráficamente, ¿Qué punto de una curva de indiferencia será el más barato? Sol.
  El que pertenezca a la isocoste más baja posible, que será la isocoste tangente a la curva de indiferencia.
  De nuevo, ¿cómo expresar esto operativamente? Sol.
  En el punto de tangencia entre dos curvas (o, como en este caso, una curva y una recta) las pendientes deben ser iguales (condición de tangencia).
• ¿Cómo calculamos la pendiente de las rectas isocoste? Sol.
  Nos la da el cociente de precios, $-\frac{p_C}{p_N}$
  ¿Y la pendiente de la curva de indiferencia? Sol.
  La pendiente de la curva de indiferencia en un punto es la relación marginal de sustitución, $\mathrm{RMS}(x_1, x_2)$. Para John tenemos* $\mathrm{RMS}(C, N) = - \frac{\mathrm{UMg}_C(C, N)}{\mathrm{UMg}_N(C, N)} = -\frac{N}{C}$ \[ \mathrm{RMS}(C, N) = -\frac{N}{C} \]

Dado que buscamos el punto de la curva en el que se cumpla la tangencia, podemos plantear el sistema \[ \left. \begin{array}{c} C\cdot N = u \\ -\frac{N}{C} =-\frac{p_C}{p_N} \end{array} \right\} \]

• ¿Cómo resolvemos un sistema en el que sólo hay letras? Sol.
  Aunque haya cinco variables diferentes (y ningún número) debemos tener claro que hay dos, $C$ y $N$, que son las variables a calcular (las incógnitas). Las otras, $u$, $p_C$ y $P_N$, son parámetros (datos de valor no precisado). Resolver el sistema es despejar las incógnitas como funciones de los parámetros.

Despejando $N$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, \[ N = \frac{u}{C} \Longrightarrow -\frac{u/C}{C} = -\frac{p_C}{p_N} \Longrightarrow \frac{p_N}{p_C}\cdot u = C^2 \Longrightarrow C = \sqrt{\frac{p_N}{p_C}\cdot u } \]

Volvemos a usar la primera ecuación para obtener $N$. \[ N = \frac{u}{ \sqrt{\frac{p_N}{p_C}\cdot u }} = \sqrt{\frac{p_C}{p_N}\cdot u } \]

Dado que no tenemos unos valores concretos para los datos tampoco obtenemos un resultado numérico, sino un par de funciones \[ h_C(p_C, p_N, u) = \sqrt{\frac{p_N}{p_C}\cdot u } \quad \quad h_N(p_C, p_N, u) = \sqrt{\frac{p_C}{p_N}\cdot u } \]

Las llamaremos funciones de demanda compesada o funciones de demanda hicksiana.* La justificación de los términos compensada y hicksiana (al que hace referencia la $h$ con que nombramos a las funciones) la dejamos para un poco más adelante.

La figura permite dar diferentes valores a $u$, $p_C$ y $p_N$. Usa las funciones para calcular los valores que toman $C$ y $N$ para diferentes valores de los datos, y comprueba que se corresponden con los que aparecen en la figura (como coordenadas del punto óptimo).