La función de utilidad de Sandra es \[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = 5\cdot \sqrt{x_1} + x_2 \]

Anteriormente ya vimos que aunque sus curvas de indiferencia son convexas, llegan a cortar los ejes y eso hace que en algunos casos aparezcan soluciones de esquina. Deberemos estar atentos.

En principio trabajamos de la forma habitual. Habrá que usar la ecuación de la curva de indiferencia y también la condición de tangencia.

• ¿Ecuación de la curva de indiferencia? Sol.
  $5\cdot \sqrt{x_1} + x_2 = u$
• ¿Relación marginal de sustitución? (las utilidades marginales son $\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{5}{2 \sqrt{x_1}}$ y $\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = 1$) Sol.
  \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)} = -\frac{\frac{5}{2 \sqrt{x_1}}}{1} = -\frac{5}{2 \sqrt{x_1}}\]
• ¿Puedes resolver el sistema? \[ \left. \begin{array}{c} 5\cdot \sqrt{x_1} + x_2 = u \\ -\frac{5}{2 \sqrt{x_1}} = -\frac{p_1}{p_2} \end{array} \right\} \]Sol.
  La segunda ecuación puede resolverse para $x_1$ \[ \frac{5 p_2}{2 p_1} = \sqrt{x_1} \Longrightarrow x_1 = \left( \frac{5 p_2}{2 p_1} \right)^2 \] Y sustituyendo en la primera tenemos $x_2$ \[ 5 \cdot \frac{5 p_2}{2 p_1} + x_2 = u \Longrightarrow x_2 = u - \frac{25 p_2}{2 p_1} \]
• Al resolver el sistema obtenemos un par de funciones. Míralas con cuidado. \[ x_1 = \left( \frac{5 p_2}{2 p_1} \right)^2 \quad \quad x_2 = u - \frac{25 p_2}{2 p_1} \] ¿Algún comentario sobre la primera? Sol.
  Se supone que esta función nos da la cantidad de bien 1 que se demandará para alcanzar una utilidad $u$. Parece raro que dependa de los precios pero no del valor de $u$.
  ¿Y sobre la segunda?Sol.
  Tiene un sumando positivo, $u$, y un sumando negativo. Parece que según sean los valores de $u$, $p_1$ y $p_2$ puede dar un valor negativo para $x_2$.

  La figura puede ayudarnos a ver lo que está pasando.

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• Mueve el valor de $u$ en el deslizador. ¿Qué ocurre con el punto óptimo? Sol.
  Se mueve en vertical. No cambia el valor de $x_1$, como dice la función $x_1$ calculada.
• Baja $u$ y aumenta $p_2$ (o disminuye $p_1$). ¿En algún momento se obtiene $x_2$ negativo? Sol.
  Sí y no. El punto de tangencia llega a estar más abajo del eje horizontal, pero entonces se atenúa y aparece un punto en el eje horizontal.

Visto lo que ocurre en la figura, ¿cómo expresarlo matemáticamente?

• ¿Cuándo será positivo $x_2$ en la función obtenida del sistema de ecuaciones? Sol.
  Siempre que \[ u > \frac{25 p_2}{2 p_1} \]
• ¿Y qué pasa si $u \leq \frac{25 p_2}{2 p_1}$ ? ¿Cuánto bien 2 se demandará? Sol.
  Como $x_2$ no puede ser negativo se demandará $x_2=0$.
  ¿Y del bien 1? Sol.
  Si no se consume nada de bien 2 tiene que conseguir toda la utilidad con bien 1. Tendrá que cumplir: \[ 5\cdot \sqrt{x_1} + 0 = u \Longrightarrow \sqrt{x_1} = \frac{u}{5} \Longrightarrow x_1 = \frac{u^2}{25} \]

Ahora ya podemos construir las funciones de demanda compensada, que serán funciones por tramos:\[ h_1(p_1, p_2, u) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{25}{4} \left( \frac{p_2}{p_1}\right)^2 & \mathrm{si} & u > \frac{25 p_2}{2 p_1} \\ \\ \frac{u^2}{25} & \mathrm{si} & u \leq \frac{25 p_2}{2 p_1} \end{array} \right. \] \[ h_2(p_1, p_2, u) = \left\{ \begin{array}{ccc} u - \frac{25 p_2}{2 p_1} & \mathrm{si} & u > \frac{25 p_2}{2 p_1} \\ \\ 0 & \mathrm{si} & u \leq \frac{25 p_2}{2 p_1} \end{array} \right. \]