Tenemos calculadas las funciones de demanda de Amanda

$ x_1(p_1, p_2, m) = \frac{p_2 \cdot m}{p_1\cdot (p_1 + p_2)} \quad \quad $ $x_2(p_1, p_2, m) = \frac{p_1 \cdot m}{p_2\cdot (p_1 + p_2)} $

¿Cómo responde la demanda de bien 2 a un cambio en el precio del bien 1? (¿O la demanda del bien 1 a un cambio en el precio del 2?)

A diferencia de otros casos, como los de Mary o John, mirar las funciones de demanda no nos da una respuesta evidente. Si nos fijamos en $x_2(p_1, p_2, m)$, vemos que un aumento de $p_1$ hará aumentar el valor del numerador, pero también aumentará el denominador. ¿Puedes decir a simple vista qué va a pasar con el resultado del cociente?

Calcular la derivada parcial nos permitirá dar una respuesta.

$ \quad \frac{\partial x_2(p_1, p_2, m)}{\partial p_1} $ $= \quad \frac{m p_2 (p_1+p_2) - p_1 m p_2}{p_2^2 (p_1 + p_2)^2} $ $= \quad \frac{m}{(p_1 + p_2)^2} > 0 $

El valor de la derivada parcial de $x_2$ respecto de $p_1$ es positivo para cualquier valor de precios y renta, por lo que podemos afirmar que el bien 2 es sustitutivo de del bien 1 (a mayor $p_1$ mayor consumo de bien 2).

Ya habíamos visto en la figura que Amanda respondía al cambio de precio de esta manera, pero la figura muestra lo que pasa en un punto concreto (un ejemplo) mientras ahora vemos que el signo de la derivada es positivo siempre, por lo que sabemos que repitiendo la figura para distintos puntos iniciales llevaría al mismo resultado.

Aunque por la simetría de las funciones se puede anticipar el resultado, estaría bien que hagas el ejercicio de comprobar que el bien 1 también es sustitutivo del 2 (esto es, que la derivada parcial de $x_1$ respecto de $p_2$ es positiva.