6.- Efectos Sustitución y Renta Ejemplo 6: ES y ER de Michael
La función de utilidad que representa las preferencias de Michael es
\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = \frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2} \]
En primer lugar vamos a hacernos algunas preguntas que podemos responder usando la figura. Después nos plantearemos como ejercicio el cálculo de los efectos en un caso concreto.
Los controles te permiten proponer diferentes valores iniciales para precios y renta, así como diferentes nuevos precios. También puedes elegir si ver uno u otro efecto, o todos ala vez.
Propón una subida de $p_1$ (eligiendo un $p_1' > p_1$). ¿Qué información te da el efecto total sobre los tipos de bienes? (Dónde miras para responder?) Sol.
Mirando el movimiento en el eje horizontal vemos que $x_1$ se mueve hacia la izquierda. Por tanto el bien 1 es un bien Ordinario para Michael. En el eje vertical vemos que $x_2$ se mueve hacia abajo, por lo que podemos afirmar que el bien 2 es Complementario del 1.
Intenta razonar, antes de usar la figura, dónde estará aproximadamente el punto C. ¿Qué nos dirá el efecto sustitución? Sol.
Nos hará subir por la curva de indiferencia hacia la izquierda, esto es, el efecto sustitución le llevará a consumir menos bien 1 y más bien 2.
El paso de C a B es el efecto renta. ¿Qué información nos da sobre los bienes? Sol.
Al quitarle la compensación B está debajo y a la izquierda de C. El efecto renta reduce el consumo de los dos bienes, luego ambos son Normales para Michael.
¿Van el efecto sustitución y el efecto renta del bien 1 en el mismo sentido? ¿Y los del bien 2? Sol.
Para el bien 1 sí, para el bien 2 van en sentido contrario.
Nos fijamos ahora en los efectos de $p_1$ sobre el bien 2. ¿Cuál de los dos efectos, sustitución o renta, es más fuerte? ¿Qué consecuencia tiene eso? Sol.
Es más fuerte el efecto renta. Por eso el efecto total va hacia abajo y el bien 2 es complementario del 1.
Si e lugar de aumentar $p_1$ propones una bajada, o una variación de $p_2$, ¿sabrías responder las preguntas anteriores? Deberías hacer el ejercicio con un poco de cuidado (incluso escribiendo las respuestas), para comprobar si has entendido bien las cosas.
Una última cuestión. Supongamos que en la figura puedes elegir un nuevo precio para el bien 1, $p_1'$, pero no puedes cambiar $p_2$. ¿Podrías saber si el bien 2 es Ordinario o Giffen? Sol.
La definición de bien Ordinario o Giffen se basa en el efecto total de un cambio en el propio precio, y aquí no podemos cambiar $p_2$. Pero sí podemos cambiar $p_1$, y ver el efecto renta sobre ambos bienes. Y ese efecto renta muestra que el bien 2 es un bien Normal. La teoría nos ha mostrado que para ser Giffen un bien necesita ser Inferior, con un efecto suficientemente grande para 'vencer' al efecto sustitución. Un bien Normal no puede ser Giffen, así que el bien 2 tiene que ser Ordinario.
Veamos ahora un ejercicio numérico para calcular los efectos de un cambio de precio.
Supongamos que inicialmente los precios son $p_1 = 9$ y $p_2 = 9$, y la renta es $m=360$. Se produce una bajada en el precio del bien 2 hasta $p_2'=4$. ¿Cuáles son los efectos total, sustitución y renta?
El primer paso es calcular la demanda inicial, A, y la final, B. Podríamos usar las funciones de demanda de Michael que ya
tenemos calculadas pero, como se trata de 'entrenar' un poco, plantearemos el problema para buscar A y C desde la base.
Necesitamos la relación marginal de sustitución. Por si no te llevas bien con las derivadas, nos dan calculadas las utilidades marginales:
\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{x_2^2}{(x_1 + x_2)^2} \]\[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{x_1^2}{(x_1 + x_2)^2} \]
¿Cuál será la relación marginal de sustitución? Sol.
Basta con hacer el cociente $-\frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)}$ para obtener que $\mathrm{RMS}(x_1, x_2)= -\frac{x_2^2}{x_1^2}$.
Para calcular A usamos los datos iniciales para plantear la ecuación presupuestaria y la condición de tangencia: Sol.
\[ \left. \begin{array}{c} 9 x_1 + 9 x_2 = 360 \\ -\frac{x_2^2}{x_1^2} = -\frac{9}{9} \end{array} \right\} \] Resolviendo el sistema obtenemos el punto A Sol.
$(x_1^A, x_2^A) = (20, 20)$
Igualmente, para calcular el punto B habrá que plantear de nuevo el sistema, pero usando el nuevo precio. Sol.
\[ \left. \begin{array}{c} 9 x_1 + 4 x_2 = 360 \\ -\frac{x_2^2}{x_1^2} = -\frac{9}{4} \end{array} \right\} \]
Resolvemos el sistema y obtenemos el punto B Sol.
$(x_1^B, x_2^B) = (24, 36)$
Queremos calcular el punto C. Debe estar en la misma curva de indiferencia que el punto A, por lo que usamos la función de utilidad para calcular su valor en el punto A. \[ \mathrm{U}(20, 20) = \frac{20 \cdot 20}{20+20} = 10\]
El punto C ha de tener utilidad 10 y cumplir la condición de tangencia para la nueva pendiente. Esto nos da las dos ecuaciones que nos permitirán obtener el punto C. Sol.
\[ \left. \begin{array}{c} \frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2}= 10 \\ -\frac{x_2^2}{x_1^2} = -\frac{9}{4} \end{array} \right\} \]
Y resolviendo tenemos el punto C. Sol.
$(x_1^C, x_2^C) = (\frac{50}{3}, \frac{50}{2})$
Aunque no la necesitamos para calcular los efectos, ¿cuál sería la compensación de renta en este caso? Sol.
La renta compensada sería la necesaria para comprar el punto C con los nuevos precios, por tanto $9 \frac{50}{3} +4 25 = 250$. Como Michael tenía una renta de 360, la compensación será $m_c - m = 250-360 = -110$. La compensación sería quitarle 110 de su renta inicial para que la bajada del precio no le haga ganar poder adquisitivo.
Ya podemos calcular los efectos, usando los valores obtenidos para los puntos A, B y C:
\[ (x_1^A, x_2^A) = (20, 20) \quad \quad (x_1^B, x_2^B) = (24, 36) \]
\[(x_1^C, x_2^C) = \left(\frac{50}{3}, 25 \right) \] Sol.