Ejemplo 2: El efecto cruzado de Michael

Nos hemos encontrado con Michael en la figura, pero no lo conocíamos anteriormente. La función de utilidad que representa sus preferencias es

\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = \frac{x_1 \cdot x_2}{x_1 + x_2} \]

En la figura hemos visto que, para Michael, el bien 2 es complementario del 1, pero ahora queremos comprobarlo formalmente usando sus funciones de demanda. Y como no lo habíamos hecho anteriormente, tendremos que empezar por calcularlas (estaría bien que fueras dando los pasos por ti mismo, aunque los botones te permiten ver las operaciones intermedias).

Para poder plantear la condición de tangencia necesitamos calcular la relación marginal de sustitución, y para obtener esta, primero hemos de obtener las utilidades marginales de los bienes.

\[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = \frac{x_2 (x_1+x_2) - x_1 x_2}{(x_1 + x_2)^2} = \frac{x_2^2}{(x_1 + x_2)^2} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = \frac{x_1 (x_1+x_2) - x_1 x_2}{(x_1 + x_2)^2} = \frac{x_1^2}{(x_1 + x_2)^2} \] Obtenemos la RMS como cociente (con signo negativo) de las utilidades marginales \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)} = -\frac{\frac{x_2^2}{(x_1 + x_2)^2} }{\frac{x_1^2}{(x_1 + x_2)^2}} = -\frac{x_2^2}{x_1^2}\]

\[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{x_2^2}{x_1^2}\] El sistema a resolver para maximizar la utilidad lo forman la condición de tangencia y la ecuación presupuestaria. \[ \left. \begin{array}{c} -\frac{x_2^2}{x_1^2} = -\frac{p_1}{p_2} \\ p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \end{array} \right\} \]

Despejando $x_2$ en la primera ecuación, \[ x_2^2 = \frac{p_1}{p_2} x_1^2 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = \frac{p_1^{1/2}}{p_2^{1/2}} x_1\] Y sustituyendo en la otra ecuación, \[ p_1 x_1 + p_2 \frac{p_1^{1/2}}{p_2^{1/2}} x_1 = m \quad \Longrightarrow \quad p_1 x_1 + p_1^{1/2} p_2^{1/2} x_1 = m \] \[ x_1 = \frac{m}{p_1 + p_1^{1/2} p_2^{1/2}} = \frac{m}{ p_1^{1/2} (p_1^{1/2} + p_2^{1/2})}\] Obtenemos $x_2$ sustituyendo el $x_1$ obtenido en la ecuación anterior \[ x_2 = \frac{p_1^{1/2}}{p_2^{1/2}} \cdot \frac{m}{ p_1^{1/2} (p_1^{1/2} + p_2^{1/2})} = \frac{m}{ p_2^{1/2} (p_1^{1/2} + p_2^{1/2})} \]

Las demandas resultantes son

$ \quad x_1(p_1, p_2, m) = \frac{m}{ p_1^{1/2} (p_1^{1/2} + p_2^{1/2})} \quad \quad $ $x_2(p_1, p_2, m) = \frac{m}{ p_2^{1/2} (p_1^{1/2} + p_2^{1/2})} $

En este caso no hace falta hacer las derivadas parciales para ver el efecto de las posibles variaciones.

¿Qué podemos decir mirando las funciones y suponiendo un aumento de la renta? Sol.
Ambas demandas aumentarán si $m$ aumenta, por tanto ambos bienes son Normales para Michael.
Supongamos que aumenta $p_1$. ¿Qué pasará con la demanda de bien 1? ¿Y con la de bien 2? ¿Qué tipo de bienes son? Sol.

Si aumenta $p_1$ el denominador de la demanda de bien 1 aumenta, por lo que se demanda menos bien 1. Esto significa que para Michael el bien 1 es Ordinario. Y también aumenta el denominador en la demanda de bien 2, por lo que la cantidad demandada del bien 2 se reduce. Por tanto el bien 2 es Complementario del 1 para Michael.
¿Y si lo que sube es $p_2$? Sol.
Con el mismo razonamiento podremos afirmar que el bien 2 es Ordinario, y que el bien 1 es Complementario del 2.

Como se decía también en el ejemplo de Amanda, ver lo que pasa con las funciones de demanda nos ha permitido confirmar lo que veíamos en la figura, pero con mayor generalidad, ya que la figura nos muestra una situación inicial concreta, mientras lo que vemos en las funciones de demanda sirve para cualquier vector de precios y renta.