Tomemos las preferencias de John sobre caramelos, K Usamos la letra C para referirnos al punto donde nos deja el efecto sustitución. Para evitar ambigüedades en este caso, usaremos $K$ para referirnos al número de caramelos. , y nubes, N: $\mathrm{U}(K, N)$.

Supongamos que con una renta $m=120$ John se enfrenta inicialmente a unos precios $p_K = 2$ y $p_N$ = 4, y luego el precio de los caramelos sube a $p_K = 4$. ¿Cómo será el efecto total y su descomposición en efectos sustitución y efecto renta?

Las preferencias de John son del tipo Cobb-Douglas, lo que nos garantiza que la solución de tangencia funciona sin problemas. Podemos seguir los pasos del protocolo establecido.

Conocemos las funciones de demanda de John, \[ K(p_K, p_N, m) = \frac{m}{2 p_K} \quad \quad N(p_K, p_N, m) = \frac{m}{2 p_N} \]

1. El punto A será, usando las funciones, \[ \mathrm{A:}\;\; K(2, 4, 120) = 30 \quad \quad N(2, 4, 120) = 15 \] y el punto B \[ \mathrm{B:}\;\;K(4, 4, 120) = 15 \quad \quad N(4, 4, 120) = 15 \]

   Ya podemos calcular el efecto total (aunque nos adelantemos al protocolo), \[ ET_K = 15 - 30 = -15 \quad \quad ET_N = 15-15 = 0 \]

   Encontramos algo distinto al caso de Amanda. Aquí el efecto total sobre la demanda de nubes es nulo. En realidad no debería ser una sorpresa, pues en las funciones de John la demanda de cada bien depende de su precio (y de la renta) pero no del precio del otro bien. Un cambio en el precio de los caramelos no modifica la cantidad demandada de nubes.

2. La utilidad inicial es $\mathrm{U}(30, 15) = $450. La relación marginal de John ya fue calculada* \[ \mathrm{RMS}(K, N) = -\frac{\mathrm{UMg}_K(K, N)}{\mathrm{UMg}_N(K, N)} = -\frac{N}{K} \] $\mathrm{RMS}(K, N) = -\frac{N}{K}$, por lo que podemos construir las ecuaciones que nos darán el punto C. \[ \left. \begin{array}{c} K \cdot N = 450 \\ -\frac{N}{K} = -\frac{4}{4} \end{array} \right\} \Longrightarrow \begin{array}{c} K = \sqrt{450} \\ N = \sqrt{450} \end{array}\]

   El punto C, a donde nos lleva el efecto sustitución, es \[ C = \left( \sqrt{450}, \sqrt{450} \right) = (21.2, 21.2) \]

3. Ya podemos calcular los efectos \[ ES_K = 21.2 - 30 = -8.8 \quad ES_N = 21.2 - 15 = 6.2 \] \[ ER_K = 15 - 21.2 = -6.2 \quad ER_N = 15 - 21.2 = -6.2 \]

Habíamos visto que la subida de $p_K$ no afectaba a la demanda de nubes. Pero ahora vemos que sí que hay un efecto sustitución. Si el poder adquisitivo se mantuviera constante, John compraría menos caramelos y más nubes. Pero el efecto renta le dice que al ser más pobre (en términos reales) reduzca su consumo de ambos bienes. Y la reducción de nubes por el efecto renta resulta ser exactamente del mismo tamaño que el aumento por el efecto sustitución. En lo que se refiere a los nubes ambos efectos se anulan mutuamente y por eso vemos un efecto total nulo para este bien.

Observa los efectos en la figura..

Puedes hacer el ejercicio de comprobar que la misma anulación (ahora para los caramelos) se produce cuando sube el precio de las nubes. Por ejemplo, para unos datos iniciales $m=120$, $p_K = 2$ y $p_N = 2$, calcula los efectos de una subida del precio de las nubes a $p_N'=4$.