Las preferencias de Amanda vienen dadas por la función de utilidad

\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^{1/2} + x_2^{1/2} \]

Ya hemos calculado anteriormente sus funciones de demanda, que resultaban ser: \[ x_1(p_1, p_2, m) = \frac{p_2 m}{p_1 (p_1 + p_2)} \quad \quad x_2(p_1, p_2, m) = \frac{p_1 m}{p_2 (p_1 + p_2)} \]

Supongamos que Amanda dispone de una renta $m=100$ para gastar a precios $p_1 = 2$ y $p_2 = 2$.

• ¿Cuál sería su decisión óptima?Sol.
  Dado que tenemos las funciones de demanda es fácil responder. Basta con sustituir los datos en las funciones.

  $ x_1^A = x_1(2, 2, 100) = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot(2+2)} = 25 \quad \quad$

  $ x_2^A = x_2(2, 2, 100) = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot(2+2)} = 25 $

  Llamaremos A a la cesta demandada inicialmente, \[ (x_1^A, x_2^A) = (25, 25) \]

• El precio del bien 1 sube a $p_1' = 4$. ¿Cuál será la cesta demandada? Sol.
  De nuevo usamos las funciones de demanda, obteniendo

  $ x_1^B = x_1(4, 2, 100) = \frac{2 \cdot 100}{4 \cdot(4+2)} = \frac{25}{3} \quad \quad$

  $ x_2^B = x_2(4, 2, 100) = \frac{4 \cdot 100}{2 \cdot(4+2)} = \frac{100}{3}$

  ¿Cuál será el efecto (total) de esa subida en la decisión de Amanda? Sol.
  Habrá que calcular el efecto para cada uno de los dos bienes, restando al valor final el inicial.
  \[ ET_1 = x_1^B - x_1^A = \frac{25}{3} - 25 = -\frac{50}{3} \] \[ ET_2 = x_2^B - x_2^A = \frac{100}{3} - 25 = \frac{25}{3} \]
• Queremos descomponer el efecto total en efecto sustitución y efecto renta. Para ello, empezaremos con el efecto sustitución; necesitamos compensar la renta de Amanda para que la subida de precio no le haga perder poder adquisitivo. ¿Cómo hacemos esto? ¿Cuánta renta habrá que darle? Sol.
  Vamos por partes. Nuestra definición de poder adquisitivo se basa en la satisfacción que la renta le permite alcanzar. Tendremos que ver cuál es la utilidad inicial.

  Calculamos la utilidad del punto A \[ \mathrm{U}(x_1^A, x_2^A) = \mathrm{U}(25, 25) = 25^{1/2} + 25^{1/2} = 10 \]

  Le daríamos la renta que haga falta para que la cesta C que demande al nuevo precio tenga utilidad 10.

• Tenemos que calcular el punto C. ¿Qué sabemos de él? Sol.
  Sabemos dos cosas: que debe tener utilidad 10, y que debe ser un punto óptimo (de la recta compensada) por lo que tendrá que cumplir la condición de tangencia. Esas dos cosas pueden concretarse en dos ecuaciones.

  Por ser indiferente al punto A, el punto C deberá cumplir que \[ x_1^{1/2} + x_2^{1/2} = 10 \]

  Para la condición de tangencia necesitamos la relación marginal de sustitución, que es

  Calculamos la RMS como cociente (con signo negativo) de las utilidades marginales

  \[ \mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{1}{2 x_1^{1/2}} \] \[ \mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{1}{2 x_2^{1/2}} \] \[ \mathrm{RMS}(x_1, x_2) = - \frac{\frac{1}{2 x_1^{1/2}}}{\frac{1}{2 x_2^{1/2}}} = -\frac{x_2^{1/2}}{x_2^{1/2}} \] : \[\mathrm{RMS}(x_1, x_2) = -\frac{x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}}\]

  Añadiendo la condición de tangencia a la ecuación que ya teníamos, formamos el sistema que nos da como solución el punto C \[ \left. \begin{array}{c} x_1^{1/2} + x_2^{1/2} = 10 \\ -\frac{x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}} = -\frac{4}{2} \end{array} \right\} \]

  Operando con un poco de cuidado llegamos fácilmente a la solución De la segunda ecuación tenemos que $x_2^{1/2} = 2 x_1^{1/2}$, y sustituyendo en la primera \[ x_1^{1/2} + 2 x_1^{1/2} = 10 \Longrightarrow x_1^{1/2} = \frac{10}{3} \Longrightarrow x_1 = \frac{100}{9} \] y finalmente \[ x_2^{1/2} = 2 \left( \frac{100}{9} \right)^{1/2} = \frac{20}{3} \Longrightarrow x_2 = \frac{400}{9} \] \[ (x_1^C, x_2^C) = \left( \frac{100}{9}, \frac{400}{9} \right) \] Fíjate en que no hemos calculado la compensación de la renta, sino que hemos buscado directamente el punto C. Ahora basta ver cuánto cuesta el punto C (a los nuevos precios) para saber cuál sería la compensación necesaria. \[ p_1' \cdot x_1^C + p_2 x_2^C = 4\frac{100}{9} + 2 \frac{400}{9} = \frac{400}{3} \] Para comprar C hace falta una renta $m^c = \frac{400}{3}$. Como Amanda dispone inicialmente de una renta $m=100$ habría que darle la diferencia, $\frac{400}{3} - 100 = \frac{100}{3} = 33.33$ libras.* Puedes comprobar que si usas el vector de precios y renta compensada $(4,2, \frac{400}{3})$ en las funciones de demanda, obtienes efectivamente el punto C como punto demandado.

• Ahora que tenemos calculado el punto C, cuáles serán los efectos sustitución y renta?Sol.

  Como hemos hecho antes para el efecto total, sólo tenemos que plantear algunas restas con las coordenadas de los puntos.

  El efecto sustitución es el paso desde el punto inicial hasta el punto C.* El que Amanda demanda si, al mismo tiempo que sube el precio, le compensamos la renta. Usando las correspondientes coordenadas para cada bien, \[ ES_1 = x_1^C - x_1^A = \frac{100}{9} - 25 = -\frac{125}{9} \] \[ ES_2 = x_2^C - x_2^A = \frac{400}{9} - 25 = \frac{175}{9} \] El efecto renta es la respuesta a deshacer la compensación. Amanda pasará del punto C al B \[ ER_1 = x_1^B - x_1^C = \frac{25}{3} - \frac{100}{9} = -\frac{25}{9} \] \[ ER_2 = x_2^B - x_2^C = \frac{100}{3} - \frac{400}{9} = -\frac{100}{9} \] Puedes comprobar que, para cada uno de los bienes, si sumas el efecto sustitución y el efecto renta, el resultado es el valor que ya habíamos obtenido para el efecto total.
  Sol.

  \[ ES_1 + ER_1 = -\frac{125}{9} + \left( -\frac{25}{9} \right) = -\frac{50}{3} = ET_1 \] \[ ES_2 + ET_2 = \frac{175}{9} + \left( -\frac{100}{9} \right) = \frac{25}{3} = ET_2 \]

En la figura, da a los parámetros los valores del ejemplo y comprueba los resultados obtenidos viendo las variaciones en los ejes.* Aunque por precisión se han dejado los resultados como fracciones, para comprobar en la figura será mejor que calcules los cocientes como, por ejemplo, $x_1^C = \frac{100}{9}= 11.11$.

Ahora que has visto un ejemplo puedes practicar con otro caso como ejercicio.

Supón que inicialmente $m=120$, $p_1=4$ y $p_2= 4$ y que se produce una bajada del precio del bien 2 a $p_2'=2$. Calcula el efecto total sobre la demanda de ambos bienes y su descomposición en efecto sustitución y renta. Sol.

Comprueba en la figura.