Tomemos las tres funciones usadas al hablar de las transformaciones (visítalas de nuevo):

\[ \mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2 \quad \quad \mathrm{V}(x_1, x_2) =\sqrt{ x_1 \cdot x_2} \] \[ \mathrm{W}(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2 \]

Ya conocemos la RMS de la primera, \[\mathrm{RMS}_U(x_1, x_2) = - \frac{x_2}{x_1}.\]

Calculemos para las otras dos funciones.

Con la función $\mathrm{V}(x_1, x_2) = \sqrt{x_1 \cdot x_2} $ we obtain: \[ \mathrm{VMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{V}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x_1\cdot x_2}} \cdot x_2 \] \[ \mathrm{VMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{V}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x_1 \cdot x_2}} \cdot x_1\] \[ \mathrm{RMS}_V(x_1, x_2) = - \frac{\frac{\partial \mathrm{V}(x_1, x_2)}{\partial x_1} }{\frac{\partial \mathrm{V}(x_1, x_2)}{\partial x_2}}= - \frac{ \frac{1}{2\cdot \sqrt{x_1\cdot x_2}} \cdot x_2}{ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x_1 \cdot x_2}} \cdot x_1} = - \frac{x_2}{x_1} \] Y con la función $\mathrm{W}(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2$ tenemos: \[ \mathrm{WMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{W}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = \frac{1}{x_1} \] \[\mathrm{WMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{W}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = \frac{1}{x_2} \] \[ \mathrm{RMS}_W(x_1, x_2) = - \frac{\frac{\partial \mathrm{W}(x_1, x_2)}{\partial x_1} }{\frac{\partial \mathrm{W}(x_1, x_2)}{\partial x_2} } = - \frac{\frac{1}{x_1} }{ \frac{1}{x_2}} = - \frac{x_2}{x_1} \]

Como se puede ver, en los tres casos la RMS obtenida resulta ser la misma función, lo que nos permite afirmar que las tres funciones representan a las mismas preferencias.

El resto del ejemplo es una discusión adicional sobre el carácter de las funciones de utilidad. Puedes dejarlo si no te apetece pensar.

Observemos las utilidades marginales del bien 1 en cada función (lo mismo pasará con las del bien 2).

En la función $\mathrm{U}$, el aumento de la utilidad ocasionado por una unidad adicional de $x_1$ es igual a $x_2$. Cuanto mayor es la cantidad de bien 2, mayor es el aumento de utilidad ocasionado por una unidad de bien 1 (cuantas más nubes tiene John más le aumenta la utilidad un caramelo).

En la función $\mathrm{W}$, la utilidad marginal de $x_1$ es igual a $\frac{1}{x_1}$. El aumento de utilidad de una unidad de bien 1 no depende ahora de $x_2$, y es menor cuanto más $x_1$ tiene inicialmente. (A John cada nuevo caramelo le aumenta la utilidad menos que el anterior, y ello independientemente de la cantidad de nubes que tenga).

Con la función $\mathrm{V}$ aún es más lioso. La utilidad marginal de $x_1$ es ahora $\frac{x_2}{2\cdot \sqrt{x_1 x_2}}$. El efecto de una nueva unidad de bien 1 sobre la utilidad depende de cuánto bien 1 y bien 2 hay en la cesta inicial.

Pese a que las tres funciones representan a las mismas preferencias, el efecto de una unidad de bien 1 parece ser muy distinto según con qué función trabajemos. No parece tener sentido. Date un minuto para pensarlo.

En realidad, la respuesta es que no importa. Como hemos dicho antes, las funciones de utilidad no miden nada, no tienen unidades. No importa si el valor de la función crece mucho o poco, más deprisa o más despacio. Lo importante es que sus curvas de nivel (las curvas de indiferencia) son las mismas aunque tengan etiquetas diferentes. Y ya hemos comprobado que en cualquier punto las tres funciones dan el mismo valor para la RMS. Esto nos garantiza que están representando a las mismas curvas. Si una función nos dice que en un punto concreto la RMS es igual a -10 eso significa que en ese punto el consumidor estaría dispuesto a entregar 10 unidades de $x_2$ a cambio de una de $x_1$, y las otras funciones dirán exactamente lo mismo.