Sea la función de utilidad de un consumidor $$\mathrm{U}(x_1, x_2) = x_1^2 \cdot x_2^3$$

¿Puedes calcular sus funciones de demanda compensada? Quizá puedas hacerlo ya de tirón, pero si no, sigue los pasos que se sugieren.

• Para formar el sistema de ecuaciones necesitamos en primer lugar la ecuación de la curva de indiferencia. ¿Puedes plantearla? Sol.
  Basta con igualar la función de utilidad al parámetro $u$: $$x_1^2 \cdot x_2^3 = u$$
• La segunda ecuación es la condición de tangencia. Para poder plantearla necesitamos la relación marginal de sustitución. Calcúlala (si no estás usando las derivadas mira directamente la solución). Sol.
  Para obtener la $\mathrm{RMS}$ calculamos primero las utilidades marginales: $$\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_1} = 2 x_1 x_2^3$$ $$\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2) = \frac{\partial \mathrm{U}(x_1, x_2)}{\partial x_2} = x_1 3 x_2^2$$

  Calculamos la relación marginal de sustitución con el cociente de las utilidades marginales

  $$\mathrm{RMS}(x_1, x_2)= - \frac{\mathrm{UMg}_1(x_1, x_2)}{\mathrm{UMg}_2(x_1, x_2)} = -\frac{2 x_1 x_2 3}{x_1 3 x_2^2} = -\frac{2 x_2}{3 x_1}$$
• Una vez que tienes la relación marginal de sustitución ya puedes construir la ecuación de tangencia.Sol.
  $\mathrm{RMS}(x_1, x_2)= -\frac{p_1}{p_2} \Longrightarrow -\frac{2 x_2}{3 x_1} = -\frac{p_1}{p_2}$
• Ya tienes las dos ecuaciones para formar el sistema, ahora habrá que resolverlo para $x_1$ y $x_2$. $$\left. \begin{array}{c} x_1^2 x_2^3 = u \\ -\frac{2 x_2}{3 x_1} =-\frac{p_1}{p_2} \end{array} \right\}$$ Sol.
  El camino para resolver un sistema no es único. Por ejemplo podemos despejar $x_2$ en la segunda ecuación y sustituir en la primera $$x_2 = \frac{3 p_1}{2 p_2} x_1 \Longrightarrow x_1^2 \cdot \left( \frac{3 p_1}{2 p_2} x_1 \right)^3 = u$$ Despejando $x_1$ obtenemos la demanda compensada del bien 1 $$x_1^5 \cdot \left( \frac{3 p_1}{2 p_2} \right)^3 = u \Longrightarrow x_1^5 = \left( \frac{2 p_2}{3 p_1} \right)^3 u \Longrightarrow x_1 = \left( \frac{2 p_2}{3 p_1} \right)^{3/5} u^{1/5}$$ Usando la ecuación de arriba obtenemos la de $x_2$ $$x_2 = \frac{3 p_1}{2 p_2}\cdot \left( \frac{2 p_2}{3 p_1} \right)^{3/5} u^{1/5} = \left( \frac{3 p_1}{2 p_2} \right)^{2/5} u^{1/5}$$

Ya tenemos las funciones de demanda compensada (o hicksiana), que nos dan la cesta que minimiza el gasto de alcanzar la utilidad $u$ a unos precios $p_1$ y $p_2$.

$$h_1(p_1, p_2, u) = \left( \frac{2 p_2}{3 p_1} \right)^{3/5} u^{1/5}$$ $$h_2(p_1, p_2, u) = \left( \frac{3 p_1}{2 p_2} \right)^{2/5} u^{1/5}$$